V.2. Un nouvel espace de distributions
501
positif d’après l’hypothèse ˜
M = ˜
G). Soit N ≥ 2, supposons que f (H) − d soit
identiquement nul sur C et que J(f ) ait N éléments. Notons que, si l’on fixe
α = (α i ) i=1,...,n ∈ J(f ), C est contenu dans l’une des composantes connexes du
complémentaire des hyperplans noyaux des α i . Puisque les α i sont linéairement
indépendants, il en résulte que C a au moins n murs. C’est-à-dire qu’il y a au moins
n hyperplans H j pour j = 1, . . . , n, d’équations β j (H) = 0, avec β j ∈ Σ(f ), de
sorte .que l’intersection de H j avec l’adhérence de C contienne un ouvert de H j . On
choisit de tels hyperplans. Il y a certainement un j et un α = (α i ) i=1,...,n ∈ J(f )
tel que β j = ±α i pour tout i. Sinon, tout α ∈ J(f ) contiendrait ±β 1 , . . . , ±β n ,
sa classe de ±-équivalence serait uniquement déterminée et J(f ) ne contiendrait
qu’un élément. Fixons un j comme ci-dessus et posons simplement β = β j . Il
existe un α = (α i ) i=1,...,n ∈ J(f ) et un i tel que β = α i . Cela traduit simplement
l’appartenance de β j à Σ(f ). Notons J 1 (f ) le sous-ensemble des α = (α i ) i=1,...,n ∈
J(f ) tels que β soit l’un des ±α i et J 2 (f ) son complémentaire dans J(f ). Ce que
l’on vient de dire signifie que J 1 (f ) et J 2 (f ) sont tous deux non vides. Notons
H l’hyperplan défini par β(H) = 0, soit un élément de a ˜
M (R) orthogonal à
H et tel que C soit contenu dans H + R >0 . Montrons que l’on peut trouver un
ensemble ouvert non vide U ⊂ H et un réel > 0 de sorte que
(3) {H + tt; H ∈ U, 0 < t < <} ⊂ C ;
(4) pour α ∈ Σ(f ) avec α = ±β, on a α(H) = 0 pour tout H ∈ U .
On peut certainement assurer (3) par l’hypothèse que H est un bord de C.
Pour assurer (4), il suffit de retirer de U le sous-ensemble des H qui sont annulés
par une racine α ∈ Σ(f ), α = ±β. Il faut vérifier que l’ensemble obtenu reste
non vide. Il suffit pour cela que les α en question ne s’annulent pas identiquement
sur H, ou encore qu’ils ne soient pas proportionnels à β. Supposons α ∈ Σ(f )
et α = eβ, avec e ∈ Q et e = ±1. Par définition, α intervient dans une famille
α ∈ J(f ) tandis que β intervient dans une famille β ∈ J(f ). Ces deux familles
ne sont pas les mêmes : une famille ne peut pas contenir β et eβ car ces deux
éléments ne sont pas linéairement indépendants. L’hypothèse α = eβ avec e = ±1
interdit aux éléments de la famille α d’engendrer le même réseau que les éléments
de la famille β. Cela contredit la définition de J. D’où les assertions ci-dessus.
On fixe U et comme ci-dessus. Fixons H ∈ U , soit t ∈]0, ,[. Pour α =
(α i ) i=1,...,n ∈ J 1 (f ), on peut supposer α 1 = ±β. On pose α
= (α i ) i=2,...,n . On a
v α (H + tt) = log(bt)v α (H + tt),
où b = |2β()| R . Dans α
n’interviennent que des racines α vérifiant l’hypothèse
de (4), donc pour lesquelles α(H + tt) ne s’annule pas en t = 0. Il en résulte que
t → v α (H + tt) se prolonge en une fonction analytique en t au voisinage de t = 0.
Pour la même raison, si α ∈ J 2 (f ), la fonction t → v α (H + tt) se prolonge en une
fonction analytique en t au voisinage de t = 0. Posons
f
1 =
α∈J1(f )
x α v α ,
f 2 =
α∈J2(f )
x α v α .
501
positif d’après l’hypothèse ˜
M = ˜
G). Soit N ≥ 2, supposons que f (H) − d soit
identiquement nul sur C et que J(f ) ait N éléments. Notons que, si l’on fixe
α = (α i ) i=1,...,n ∈ J(f ), C est contenu dans l’une des composantes connexes du
complémentaire des hyperplans noyaux des α i . Puisque les α i sont linéairement
indépendants, il en résulte que C a au moins n murs. C’est-à-dire qu’il y a au moins
n hyperplans H j pour j = 1, . . . , n, d’équations β j (H) = 0, avec β j ∈ Σ(f ), de
sorte .que l’intersection de H j avec l’adhérence de C contienne un ouvert de H j . On
choisit de tels hyperplans. Il y a certainement un j et un α = (α i ) i=1,...,n ∈ J(f )
tel que β j = ±α i pour tout i. Sinon, tout α ∈ J(f ) contiendrait ±β 1 , . . . , ±β n ,
sa classe de ±-équivalence serait uniquement déterminée et J(f ) ne contiendrait
qu’un élément. Fixons un j comme ci-dessus et posons simplement β = β j . Il
existe un α = (α i ) i=1,...,n ∈ J(f ) et un i tel que β = α i . Cela traduit simplement
l’appartenance de β j à Σ(f ). Notons J 1 (f ) le sous-ensemble des α = (α i ) i=1,...,n ∈
J(f ) tels que β soit l’un des ±α i et J 2 (f ) son complémentaire dans J(f ). Ce que
l’on vient de dire signifie que J 1 (f ) et J 2 (f ) sont tous deux non vides. Notons
H l’hyperplan défini par β(H) = 0, soit un élément de a ˜
M (R) orthogonal à
H et tel que C soit contenu dans H + R >0 . Montrons que l’on peut trouver un
ensemble ouvert non vide U ⊂ H et un réel > 0 de sorte que
(3) {H + tt; H ∈ U, 0 < t < <} ⊂ C ;
(4) pour α ∈ Σ(f ) avec α = ±β, on a α(H) = 0 pour tout H ∈ U .
On peut certainement assurer (3) par l’hypothèse que H est un bord de C.
Pour assurer (4), il suffit de retirer de U le sous-ensemble des H qui sont annulés
par une racine α ∈ Σ(f ), α = ±β. Il faut vérifier que l’ensemble obtenu reste
non vide. Il suffit pour cela que les α en question ne s’annulent pas identiquement
sur H, ou encore qu’ils ne soient pas proportionnels à β. Supposons α ∈ Σ(f )
et α = eβ, avec e ∈ Q et e = ±1. Par définition, α intervient dans une famille
α ∈ J(f ) tandis que β intervient dans une famille β ∈ J(f ). Ces deux familles
ne sont pas les mêmes : une famille ne peut pas contenir β et eβ car ces deux
éléments ne sont pas linéairement indépendants. L’hypothèse α = eβ avec e = ±1
interdit aux éléments de la famille α d’engendrer le même réseau que les éléments
de la famille β. Cela contredit la définition de J. D’où les assertions ci-dessus.
On fixe U et comme ci-dessus. Fixons H ∈ U , soit t ∈]0, ,[. Pour α =
(α i ) i=1,...,n ∈ J 1 (f ), on peut supposer α 1 = ±β. On pose α
= (α i ) i=2,...,n . On a
v α (H + tt) = log(bt)v α (H + tt),
où b = |2β()| R . Dans α
n’interviennent que des racines α vérifiant l’hypothèse
de (4), donc pour lesquelles α(H + tt) ne s’annule pas en t = 0. Il en résulte que
t → v α (H + tt) se prolonge en une fonction analytique en t au voisinage de t = 0.
Pour la même raison, si α ∈ J 2 (f ), la fonction t → v α (H + tt) se prolonge en une
fonction analytique en t au voisinage de t = 0. Posons
f
1 =
α∈J1(f )
x α v α ,
f 2 =
α∈J2(f )
x α v α .