500
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
pour a dans le domaine assez proche de 1. Cette notion d’équivalence se descend
à l’algèbre de Lie. Pour chaque α ∈ J, introduisons la fonction
H → v α (H) =
i=1,...,n
log(|2α i (H)| R )
définie presque partout sur a ˜
M (R). Pour tout i, on a l’égalité
log(| exp(α i (H)) − exp(−α i (H))| R )
= log(|2α i (H)| R ) + log
exp(α i (H)) − exp(−α i (H))
2α i (H)
R
.
Le second terme est analytique au voisinage de H = 0 et nul en ce point. Cela
entraîne que les fonctions v α et H → u α (exp(H)) sont équivalentes. Posons
v =
α∈J
c α v α .
Alors v est équivalent à la constante c. Cela entraîne
(1) v(H) = c pour tout H ∈ a ˜
M (R).
En effet, fixons un point H en position générale. Considérons l’ensemble
{tH; t ∈ R, 0 < t < 2}. Il est contenu dans un domaine comme ci-dessus. En
conséquence, la limite de v(tH) − c est nulle quand t tend vers 0. Pour tout α ∈ J,
la fonction t → v α (tH) est polynomiale en log(t) pour t > 0. Donc aussi v(tH) − c.
Quand t tend vers 0, log(t) tend vers +∞. Un polynôme en log(t) ne peut tendre
vers 0 que s’il est identiquement nul. Donc v(tH) − c = 0 pour tout t. Appliquée
à t = 1, cette relation donne (1).
Les fonctions v α se quotientent en des fonctions sur a ˜
M (R)/a ˜
G (R). On ne
perd rien à supposer, pour simplifier les notations, que a ˜
G = {0}. Considérons une
fonction
f =
α∈J
x α v α ,
avec des coefficients x α ∈ C. Notons J(f ) l’ensemble des α ∈ J tels que x α = 0.
Considérons la réunion des α ∈ J(f ). C’est un ensemble fini de racines, notons-le
Σ(f ). Chacune d’elles détermine l’hyperplan de a ˜
M (R) sur lequel elle s’annule.
D’où un ensemble fini d’hyperplans. Le complémentaire dans a ˜
M (R) de la réunion
de ces hyperplans est réunion finie de cônes. La fonction f est clairement analytique
sur chacun d’eux. Soit C l’un de ces cônes et soit d ∈ C. On va montrer
(2) si f (H) − d est identiquement nul sur C, alors J(f ) est vide.
On raisonne par récurrence sur un entier N ≥ 1 : on montre que les relations
«f (H) − d identiquement nul sur C» et «J(f ) a N éléments» sont contradictoires.
L’assertion est évidente si N = 1 : une fonction v α n’est certainement pas constante
sur un cône ouvert (le nombre de racines n = a ˜
M − a ˜
G = a ˜
M étant strictement
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
pour a dans le domaine assez proche de 1. Cette notion d’équivalence se descend
à l’algèbre de Lie. Pour chaque α ∈ J, introduisons la fonction
H → v α (H) =
i=1,...,n
log(|2α i (H)| R )
définie presque partout sur a ˜
M (R). Pour tout i, on a l’égalité
log(| exp(α i (H)) − exp(−α i (H))| R )
= log(|2α i (H)| R ) + log
exp(α i (H)) − exp(−α i (H))
2α i (H)
R
.
Le second terme est analytique au voisinage de H = 0 et nul en ce point. Cela
entraîne que les fonctions v α et H → u α (exp(H)) sont équivalentes. Posons
v =
α∈J
c α v α .
Alors v est équivalent à la constante c. Cela entraîne
(1) v(H) = c pour tout H ∈ a ˜
M (R).
En effet, fixons un point H en position générale. Considérons l’ensemble
{tH; t ∈ R, 0 < t < 2}. Il est contenu dans un domaine comme ci-dessus. En
conséquence, la limite de v(tH) − c est nulle quand t tend vers 0. Pour tout α ∈ J,
la fonction t → v α (tH) est polynomiale en log(t) pour t > 0. Donc aussi v(tH) − c.
Quand t tend vers 0, log(t) tend vers +∞. Un polynôme en log(t) ne peut tendre
vers 0 que s’il est identiquement nul. Donc v(tH) − c = 0 pour tout t. Appliquée
à t = 1, cette relation donne (1).
Les fonctions v α se quotientent en des fonctions sur a ˜
M (R)/a ˜
G (R). On ne
perd rien à supposer, pour simplifier les notations, que a ˜
G = {0}. Considérons une
fonction
f =
α∈J
x α v α ,
avec des coefficients x α ∈ C. Notons J(f ) l’ensemble des α ∈ J tels que x α = 0.
Considérons la réunion des α ∈ J(f ). C’est un ensemble fini de racines, notons-le
Σ(f ). Chacune d’elles détermine l’hyperplan de a ˜
M (R) sur lequel elle s’annule.
D’où un ensemble fini d’hyperplans. Le complémentaire dans a ˜
M (R) de la réunion
de ces hyperplans est réunion finie de cônes. La fonction f est clairement analytique
sur chacun d’eux. Soit C l’un de ces cônes et soit d ∈ C. On va montrer
(2) si f (H) − d est identiquement nul sur C, alors J(f ) est vide.
On raisonne par récurrence sur un entier N ≥ 1 : on montre que les relations
«f (H) − d identiquement nul sur C» et «J(f ) a N éléments» sont contradictoires.
L’assertion est évidente si N = 1 : une fonction v α n’est certainement pas constante
sur un cône ouvert (le nombre de racines n = a ˜
M − a ˜
G = a ˜
M étant strictement