V.2. Un nouvel espace de distributions
499
V.2.3 Un lemme de séparation
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque et un espace de Levi ˜
M de ˜
G. On a
défini en [II] 3.1 un ensemble J
˜
G
˜
M
et, pour tout J dans cet ensemble, un espace U J
de germes au point 1 de fonctions définies presque partout sur A ˜
M (F ). Le corps de
base F était non-archimédien dans cette référence. Les mêmes définitions valent
sur le corps de base R. On ne les reprend pas en se contentant de renvoyer à [II]
3.1. Toutefois, il nous faut donner une démonstration de la propriété essentielle
[II] 3.1(3). Celle donnée dans cette référence ne s’adapte pas au corps de base R.
Signalons en passant que la propriété [II] 3.1(2) devient fausse sur R. Mais elle ne
nous servait qu’à démontrer (3).
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
et u ∈ U J . Supposons que ˜
M = ˜
G et que u soit équivalent
à une constante. Alors u = 0 et cette constante est nulle.
Preuve. L’élément J est formé de familles α = (α i ) i=1,...,n , où
– n = a ˜
M − a ˜
G ;
– les α i sont des racines de A ˜
M dans G linéairement indépendantes ;
– le Z-module ⊕ i=1,...,n Zα i qu’elles engendrent dans a
∗
˜
M
(R) est un Z-module
fixé R J .
A une telle famille, on associe la fonction
a → u α (a) =
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| R )
définie presque partout sur A ˜
M (R). Introduisons la relation de ±-équivalence dans
J : α = (α i ) i=1,...,n est ±-équivalent à α
= (α
i ) i=1,...,n si et seulement si on a
l’égalité ensembliste {±α i ; i = 1, . . . , n} = {±α
i ; i = 1, . . . , n} (en adoptant une
notation additive pour les racines). La fonction u α ne dépend que de la classe de
±-équivalence de α. Fixons un sous-ensemble J ⊂ J de représentants des classes
de ±-équivalence. L’élément u est une combinaison linéaire
u =
α∈J
c α u α ,
avec des coefficients complexes c α . On se limite à un voisinage de 1 dans A ˜
M (R).
Tout élément dans un tel voisinage s’écrit de façon unique a = exp(H) avec H
proche de 0. On pose d(a) = ||H||, où ||.|| est la norme euclidienne fixée sur
a ˜
M (R) A ˜
M . Dire que u est équivalent à une constante c signifie qu’il existe
r > 0 de sorte que, si l’on se restreint à un domaine défini par les relations
|α(a) − 1| R > Cd(a),
où C est une constante positive fixée, il existe C
> 0 tel que l’on ait une minoration
|u(a) − c| ≤ C
d(a)
r
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V.2.3 Un lemme de séparation
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque et un espace de Levi ˜
M de ˜
G. On a
défini en [II] 3.1 un ensemble J
˜
G
˜
M
et, pour tout J dans cet ensemble, un espace U J
de germes au point 1 de fonctions définies presque partout sur A ˜
M (F ). Le corps de
base F était non-archimédien dans cette référence. Les mêmes définitions valent
sur le corps de base R. On ne les reprend pas en se contentant de renvoyer à [II]
3.1. Toutefois, il nous faut donner une démonstration de la propriété essentielle
[II] 3.1(3). Celle donnée dans cette référence ne s’adapte pas au corps de base R.
Signalons en passant que la propriété [II] 3.1(2) devient fausse sur R. Mais elle ne
nous servait qu’à démontrer (3).
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
et u ∈ U J . Supposons que ˜
M = ˜
G et que u soit équivalent
à une constante. Alors u = 0 et cette constante est nulle.
Preuve. L’élément J est formé de familles α = (α i ) i=1,...,n , où
– n = a ˜
M − a ˜
G ;
– les α i sont des racines de A ˜
M dans G linéairement indépendantes ;
– le Z-module ⊕ i=1,...,n Zα i qu’elles engendrent dans a
∗
˜
M
(R) est un Z-module
fixé R J .
A une telle famille, on associe la fonction
a → u α (a) =
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| R )
définie presque partout sur A ˜
M (R). Introduisons la relation de ±-équivalence dans
J : α = (α i ) i=1,...,n est ±-équivalent à α
= (α
i ) i=1,...,n si et seulement si on a
l’égalité ensembliste {±α i ; i = 1, . . . , n} = {±α
i ; i = 1, . . . , n} (en adoptant une
notation additive pour les racines). La fonction u α ne dépend que de la classe de
±-équivalence de α. Fixons un sous-ensemble J ⊂ J de représentants des classes
de ±-équivalence. L’élément u est une combinaison linéaire
u =
α∈J
c α u α ,
avec des coefficients complexes c α . On se limite à un voisinage de 1 dans A ˜
M (R).
Tout élément dans un tel voisinage s’écrit de façon unique a = exp(H) avec H
proche de 0. On pose d(a) = ||H||, où ||.|| est la norme euclidienne fixée sur
a ˜
M (R) A ˜
M . Dire que u est équivalent à une constante c signifie qu’il existe
r > 0 de sorte que, si l’on se restreint à un domaine défini par les relations
|α(a) − 1| R > Cd(a),
où C est une constante positive fixée, il existe C
> 0 tel que l’on ait une minoration
|u(a) − c| ≤ C
d(a)
r