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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Preuve. L’espace D tr-orb ( ˜
G(R), ω) est la somme de D orb ( ˜
G(R), ω) et des espaces
transfert(D tr-orb (G
)), où G
parcourt E( ˜
G, a), avec la restriction G
= G si
(G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour prouver (1), il suffit de montrer que chacun de ces espaces vérifie une décomposition analogue. C’est clair pour
l’espace D orb ( ˜
G(R), ω). Pour un espace transfert(D tr-orb (G
)), cela résulte par récurrence de l’assertion (2) appliquée à G
. Cela prouve (1). Supposons (G, ˜
G, a)
quasi-déployé et à torsion intérieure. Pour un élément γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(R)) s’écrivant
O γ O , où γ O ∈ D g´ eom (O), l’élément γ est stable si et seulement si γ O est stable
pour tout O. Alors (2) résulte de (1).
Pour un K-triplet (KG, K ˜
G, a) et une classe de conjugaison stable O d’éléments semi-simples dans K ˜
G(R), on définit de même D tr-orb (O, ω) et on a encore
(3) D tr-orb (K ˜
G(R), ω) = ⊕ O D tr-orb (O, ω).
Revenons à un triplet (G, ˜
G, a). Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On a
(4) l’homomorphisme d’induction envoie
D tr-orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
dans D tr-orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ;
si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, l’homomorphisme d’induction envoie
D
st
tr-orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
dans D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
Preuve. On oublie les espaces de mesures. La deuxième assertion résulte de la
première puisque l’induction conserve la stabilité. La première assertion est vraie
si on remplace les espaces D tr-orb par les espaces d’intégrales orbitales D orb . Il nous
suffit donc de fixer une donnée M
∈ E( ˜
M ), avec M
= M dans le cas où (G, ˜
G, a)
est quasi-déployé et à torsion intérieure, de fixer δ ∈ D
st
tr-orb (M
) et de prouver
que (transfert(δ))
˜
G appartient à D tr-orb ( ˜
G(R))). Il existe un élément G
∈ E( ˜
G)
dont M
soit une «donnée de Levi». Puisque le transfert commute à l’induction,
on a
(transfert(δ))
˜
G = transfert(δ
G
).
En raisonnant par récurrence, on peut supposer que δ
G
appartient à D
st
tr-orb (G
).
Alors l’élément ci-dessus appartient par définition à D tr-orb ( ˜
G(R)).
Pour un K-triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ), on
a de même
(5) l’homomorphisme d’induction envoie
D tr-orb (K ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
dans D tr-orb (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ .