V.2. Un nouvel espace de distributions
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Les propriétés (7) et (8) sont claires si l’on remplace l’espace D tr-orb ( ˜
G(R))
par D orb ( ˜
G(R)). On les prouve alors par récurrence en étudiant comment se comportent les actions de Z G (R) ou d’un caractère affine relativement au transfert.
Revenons à la preuve de (6). Soit γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R)). Introduisons le groupe
dérivé G ,der de G . L’image dans G ,der (R)\ ˜
G (R) du support de γ est finie. On
peut donc écrire γ =
i=1,...,n γ i , de sorte que
– pour tout i, γ i appartient à D g´ eom ( ˜
G (R)) ;
– l’image du support de γ i dans G ,der (R)\ ˜
G (R) est un unique point x i ;
– pour i = j, on a x i = x j .
On peut récupérer chaque γ i comme combinaison linéaire de ˜
χγ pour des caractères affines ˜
χ convenables de ˜
G (R). D’après (8), on a donc γ i ∈ D tr-orb ( ˜
G (R))
pour tout i. Soient i = j, supposons que x i = cx j avec c ∈ C (R). Posons
γ
= γ + λ (c)
−1
γ
c
j − γ j . Cet élément est encore dans D tr-orb ( ˜
G (R)) d’après
(7) et vérifie p λ (γ
) = p λ (γ). Mais, pour γ
, la composante γ j est remplacée
par λ (c)
−1
γ
c
j et la projection de son support est x i . Cette composante s’ajoute
à γ i et on a diminué le nombre des composantes. En poursuivant, on arrive à un
élément que l’on note encore γ, qui appartient à D tr-orb ( ˜
G (R)) et a même image
par p λ que le γ initial, mais dont l’ensemble {x 1 , . . . , x n } associé vérifie la condition : si i = j, on a x i ∈ C (R)x j . Posons Δ = C (R) ∩ G ,der (R). C’est un groupe
fini. Grâce à (7), on peut moyenner γ par ce groupe sans changer les propriétés
ci-dessus de cet élément et supposer que γ
c = λ (c)γ pour tout c ∈ Δ. Supposons
alors que p λ (γ) soit stable. On a prouvé en [II] 1.10(5) qu’un γ vérifiant toutes
les hypothèses ci-dessus était stable. Donc γ ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G (R)). Cela prouve (6) et
la seconde assertion de (1).
V.2.2 Premières propriétés de l’espace D tr-orb ( ˜
G(R), ω)
Considérons un triplet (G, ˜
G, a) quelconque. Soit O une classe de conjugaison
stable d’éléments semi-simples dans ˜
G(R). Posons
D tr-orb (O, ω) = D tr-orb ( ˜
G(R), ω) ∩ D g´ eom (O, ω).
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, on pose
D
st
tr-orb (O) = D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ D
st
g´ eom (O).
On a
(1) D tr-orb ( ˜
G(R), ω) = ⊕ O D tr-orb (O, ω) où O parcourt toutes les classes de
conjugaison stable d’éléments semi-simples dans ˜
G(R) ;
(2) si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure,
D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) = ⊕ O D
st
tr-orb (O).
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Les propriétés (7) et (8) sont claires si l’on remplace l’espace D tr-orb ( ˜
G(R))
par D orb ( ˜
G(R)). On les prouve alors par récurrence en étudiant comment se comportent les actions de Z G (R) ou d’un caractère affine relativement au transfert.
Revenons à la preuve de (6). Soit γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R)). Introduisons le groupe
dérivé G ,der de G . L’image dans G ,der (R)\ ˜
G (R) du support de γ est finie. On
peut donc écrire γ =
i=1,...,n γ i , de sorte que
– pour tout i, γ i appartient à D g´ eom ( ˜
G (R)) ;
– l’image du support de γ i dans G ,der (R)\ ˜
G (R) est un unique point x i ;
– pour i = j, on a x i = x j .
On peut récupérer chaque γ i comme combinaison linéaire de ˜
χγ pour des caractères affines ˜
χ convenables de ˜
G (R). D’après (8), on a donc γ i ∈ D tr-orb ( ˜
G (R))
pour tout i. Soient i = j, supposons que x i = cx j avec c ∈ C (R). Posons
γ
= γ + λ (c)
−1
γ
c
j − γ j . Cet élément est encore dans D tr-orb ( ˜
G (R)) d’après
(7) et vérifie p λ (γ
) = p λ (γ). Mais, pour γ
, la composante γ j est remplacée
par λ (c)
−1
γ
c
j et la projection de son support est x i . Cette composante s’ajoute
à γ i et on a diminué le nombre des composantes. En poursuivant, on arrive à un
élément que l’on note encore γ, qui appartient à D tr-orb ( ˜
G (R)) et a même image
par p λ que le γ initial, mais dont l’ensemble {x 1 , . . . , x n } associé vérifie la condition : si i = j, on a x i ∈ C (R)x j . Posons Δ = C (R) ∩ G ,der (R). C’est un groupe
fini. Grâce à (7), on peut moyenner γ par ce groupe sans changer les propriétés
ci-dessus de cet élément et supposer que γ
c = λ (c)γ pour tout c ∈ Δ. Supposons
alors que p λ (γ) soit stable. On a prouvé en [II] 1.10(5) qu’un γ vérifiant toutes
les hypothèses ci-dessus était stable. Donc γ ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G (R)). Cela prouve (6) et
la seconde assertion de (1).
V.2.2 Premières propriétés de l’espace D tr-orb ( ˜
G(R), ω)
Considérons un triplet (G, ˜
G, a) quelconque. Soit O une classe de conjugaison
stable d’éléments semi-simples dans ˜
G(R). Posons
D tr-orb (O, ω) = D tr-orb ( ˜
G(R), ω) ∩ D g´ eom (O, ω).
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, on pose
D
st
tr-orb (O) = D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ D
st
g´ eom (O).
On a
(1) D tr-orb ( ˜
G(R), ω) = ⊕ O D tr-orb (O, ω) où O parcourt toutes les classes de
conjugaison stable d’éléments semi-simples dans ˜
G(R) ;
(2) si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure,
D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) = ⊕ O D
st
tr-orb (O).