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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
problème. Il existe presque par définition un élément γ ∈ D orb ( ˜
G (R)) tel que ι ◦
p λ (γ ) = p λ (γ ). Plaçons-nous dans le deuxième cas : γ = transfert(δ ) avec les
notations ci-dessus. En fixant des données auxiliaires comme ci-dessus, on identifie
δ à un élément de D
st
tr-orb,λ1 ( ˜
G
,1 (R)) (λ 1 est le caractère de C 1 (R)). On le relève
en un élément δ ,1 ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R)). Expliquons l’argument de façon informelle.
L’élément p λ (γ ) se déduit de δ ,1 par la suite d’opérations suivantes : on intègre
δ ,1 contre le caractère λ 1 de C 1 (R), on transfère la distribution obtenue à ˜
G (R)
puis on intègre contre le caractère λ de C (R). Commençons plutôt par intégrer
δ ,1 contre le caractère λ de C (R). On obtient un élément de D
st
tr-orb,λ
( ˜
G
,1 (R))
que l’on peut noter p λ (δ ,1 ). On a comme ci-dessus un diagramme
D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R))
D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R))
p λ ↓
p λ ↓
D
st
tr-orb,λ
( ˜
G
,1 (R))
ι
st
→ D
st
tr-orb,λ
( ˜
G
,1 (R)) .
En appliquant l’hypothèse de récurrence, il existe un élément
δ ,1 ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R))
tel que p λ (δ ,1 ) = ι
st
◦ p λ (δ ,1 ). Fixons un tel élément. Intégrons-le contre le
caractère λ 1 de C 1 (R) puis transférons le résultat à ˜
G (R). On obtient un élément γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R)). L’élément p λ (γ ) s’en déduit par intégration contre le
caractère λ de C (R). On laisse le lecteur vérifier que l’on a l’égalité souhaitée
ι ◦ p λ (γ ) = p λ (γ ). Cela démontre la première assertion de (1).
Prouvons la seconde assertion. On voit qu’elle résulte de la propriété suivante,
qui porte sur une seule série de données :
(6) on a l’égalité D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) = D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) ∩ D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (R)).
L’inclusion du membre de gauche dans celui de droite est évidente par définition. L’inclusion inverse signifie que, si γ est un élément de D tr-orb ( ˜
G (R)) tel
que p λ (γ) est stable, alors il existe δ ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G (R)) tel que p λ (γ) = p λ (δ).
Avant de le prouver, énonçons deux propriétés de l’espace D tr-orb ( ˜
G(R)). Le groupe
Z G (R) agit par translations sur ˜
G(R) et conséquemment sur l’espace de distributions D g´ eom ( ˜
G(R)). Pour z ∈ Z G (R), on note γ → γ
z cette action. Alors
(7) pour z ∈ Z G (R) et γ ∈ D tr-orb ( ˜
G(R)), on a γ
z
∈ D tr-orb ( ˜
G(R)).
Appelons caractère affine de ˜
G(R) une fonction ˜
χ sur ˜
G(R) telle qu’il existe
un caractère χ de G(R) de sorte que ˜
χ(xγ) = χ(x) ˜
χ(γ) pour tous x ∈ G(R)
et γ ∈ ˜
G(R). Un caractère affine agit par multiplication sur C
∞
c ( ˜
G(R). Cette
action se quotiente en une action sur I( ˜
G(R)) et on a aussi une action duale sur
D g´ eom ( ˜
G(R)) que l’on note ( ˜
χ, γ) → ˜
χγ. Alors
(8) pour tout caractère affine ˜
χ de ˜
G(R) et tout γ ∈ D tr-orb ( ˜
G(R)), on a ˜
χγ ∈
D tr-orb ( ˜
G(R)).
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
problème. Il existe presque par définition un élément γ ∈ D orb ( ˜
G (R)) tel que ι ◦
p λ (γ ) = p λ (γ ). Plaçons-nous dans le deuxième cas : γ = transfert(δ ) avec les
notations ci-dessus. En fixant des données auxiliaires comme ci-dessus, on identifie
δ à un élément de D
st
tr-orb,λ1 ( ˜
G
,1 (R)) (λ 1 est le caractère de C 1 (R)). On le relève
en un élément δ ,1 ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R)). Expliquons l’argument de façon informelle.
L’élément p λ (γ ) se déduit de δ ,1 par la suite d’opérations suivantes : on intègre
δ ,1 contre le caractère λ 1 de C 1 (R), on transfère la distribution obtenue à ˜
G (R)
puis on intègre contre le caractère λ de C (R). Commençons plutôt par intégrer
δ ,1 contre le caractère λ de C (R). On obtient un élément de D
st
tr-orb,λ
( ˜
G
,1 (R))
que l’on peut noter p λ (δ ,1 ). On a comme ci-dessus un diagramme
D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R))
D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R))
p λ ↓
p λ ↓
D
st
tr-orb,λ
( ˜
G
,1 (R))
ι
st
→ D
st
tr-orb,λ
( ˜
G
,1 (R)) .
En appliquant l’hypothèse de récurrence, il existe un élément
δ ,1 ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G
,1 (R))
tel que p λ (δ ,1 ) = ι
st
◦ p λ (δ ,1 ). Fixons un tel élément. Intégrons-le contre le
caractère λ 1 de C 1 (R) puis transférons le résultat à ˜
G (R). On obtient un élément γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R)). L’élément p λ (γ ) s’en déduit par intégration contre le
caractère λ de C (R). On laisse le lecteur vérifier que l’on a l’égalité souhaitée
ι ◦ p λ (γ ) = p λ (γ ). Cela démontre la première assertion de (1).
Prouvons la seconde assertion. On voit qu’elle résulte de la propriété suivante,
qui porte sur une seule série de données :
(6) on a l’égalité D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) = D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) ∩ D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (R)).
L’inclusion du membre de gauche dans celui de droite est évidente par définition. L’inclusion inverse signifie que, si γ est un élément de D tr-orb ( ˜
G (R)) tel
que p λ (γ) est stable, alors il existe δ ∈ D
st
tr-orb ( ˜
G (R)) tel que p λ (γ) = p λ (δ).
Avant de le prouver, énonçons deux propriétés de l’espace D tr-orb ( ˜
G(R)). Le groupe
Z G (R) agit par translations sur ˜
G(R) et conséquemment sur l’espace de distributions D g´ eom ( ˜
G(R)). Pour z ∈ Z G (R), on note γ → γ
z cette action. Alors
(7) pour z ∈ Z G (R) et γ ∈ D tr-orb ( ˜
G(R)), on a γ
z
∈ D tr-orb ( ˜
G(R)).
Appelons caractère affine de ˜
G(R) une fonction ˜
χ sur ˜
G(R) telle qu’il existe
un caractère χ de G(R) de sorte que ˜
χ(xγ) = χ(x) ˜
χ(γ) pour tous x ∈ G(R)
et γ ∈ ˜
G(R). Un caractère affine agit par multiplication sur C
∞
c ( ˜
G(R). Cette
action se quotiente en une action sur I( ˜
G(R)) et on a aussi une action duale sur
D g´ eom ( ˜
G(R)) que l’on note ( ˜
χ, γ) → ˜
χγ. Alors
(8) pour tout caractère affine ˜
χ de ˜
G(R) et tout γ ∈ D tr-orb ( ˜
G(R)), on a ˜
χγ ∈
D tr-orb ( ˜
G(R)).