V.2. Un nouvel espace de distributions
495
le sous-groupe des (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ Z( ˆ
G
) tels que z 1 z 2 z 3 = 1. L’homomorphisme
ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 se prolonge en un homomorphisme ˆ
ξ ,1 : G
→
L G
,1 de la façon
suivante. Soit (g , w) ∈ G
. On écrit g = z g, avec z ∈ Z( ˆ
G ) et (g, w) ∈ G
.
Ecrivons ˆ
ξ 1 (g, w) = z 1 h × w, avec z 1 ∈ Z( ˆ
G
1 ) et h ∈ ˆ
G
. On note ˆ
ξ ,1 (g , w)
l’image de (h, z , z 1 ) dans ˆ
G
,1 . On vérifie que ce terme ne dépend pas des choix
faits et que l’application ˆ
ξ ,1 ainsi définie est un homomorphisme. On note ˜
G
,1 le
produit fibré de ˜
G
(qui est l’espace de la donnée endoscopique G
) et de ˜
G
1
au-dessus de ˜
G
. Soit (δ ,1 , γ ) un couples d’éléments de ˜
G
,1 (R) × ˜
G (R) qui
sont fortement réguliers et qui se correspondent. Ce couple a une image naturelle
(δ 1 , γ) ∈ ˜
G
1 (R)× ˜
G(R) formée d’éléments fortement réguliers qui se correspondent.
On pose Δ ,1 (δ ,1 , γ ) = Δ 1 (δ 1 , γ). On vérifie que G
,1 , ˜
G
,1 , C 1 , ˆ
ξ ,1 , Δ ,1 est un
ensemble de données auxiliaires pour G
.
Considérons maintenant d’autres données indexées par comme en (1). Pour
la même donnée G
et les mêmes données auxiliaires, on construit de même G
et des données auxiliaires G
,1 ,. . ., Δ ,1 . On peut appliquer aussi ces constructions pour les produits fibrés G
,, et ˜
G
,, . On a donc une donnée endoscopique
G
,, pour (G
,, , ˜
G
,, ) et des données auxiliaires G
,,,1 ,. . .,Δ ,,,1 . On vérifie que
G
,,,1 est le produit fibré de G
,1 et G
,1 au-dessus de G
1 et que ˜
G
,,,1 est le produit fibré de ˜
G
,1 et ˜
G
,1 au-dessus de G
1 . D’après [I] 1.12 et (2) ci-dessus, on
a un homomorphisme naturel G
ab (R) → G ab (R) et une application compatible
˜
G
ab (R) → ˜
G ab (R). De même, on a un homomorphisme G
,,,ab (R) → G ,,,ab (R) et
une application compatible ˜
G
,,,ab (R) → ˜
G ,,,ab (R). On les compose en un homomorphisme G
,,,1,ab (R) → G ,,,ab (R) et une application compatible ˜
G
,,,1,ab (R) →
˜
G ,,,ab (R). Grâce à (2), le caractère λ ,, se factorise en un homomorphisme de
G ,, (R) et l’application ˜
λ ,, se factorise en une application définie sur ˜
G ,, (R). Par
composition avec les applications précédentes, on obtient un caractère λ
,,,1 de
G
,,,1 (R) et une application compatible ˜
λ
,,,1 sur ˜
G
,,,1 (R). Le triplet ˜
G
,1 , ˜
G
1 et
˜
G
,1 vérifie les mêmes conditions que ˜
G , ˜
G, ˜
G mais, comme toujours, si G
= G,
on a dim(G
SC ) < dim(G SC ) et on peut appliquer à ce triplet les hypothèses de
récurrence.
Introduisons des notations pour nos applications
D tr-orb ( ˜
G (R))
D tr-orb ( ˜
G (R))
p λ ↓
p λ ↓
D tr-orb,λ ( ˜
G (R))
ι
→ D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) .
On veut prouver que, pour γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R)), il existe γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R))
tel que ι ◦ p λ (γ ) = p λ (γ ). Par définition, on peut supposer soit que γ est une
honnête intégrale orbitale, soit qu’il existe G
∈ E( ˜
G) tel que G
= G, et un élément
δ ∈ D
st
tr-orb (G
) tel que γ = transfert(δ ). Dans le premier cas, il n’y a pas de
495
le sous-groupe des (z 1 , z 2 , z 3 ) ∈ Z( ˆ
G
) tels que z 1 z 2 z 3 = 1. L’homomorphisme
ˆ
ξ 1 : G
→
L G
1 se prolonge en un homomorphisme ˆ
ξ ,1 : G
→
L G
,1 de la façon
suivante. Soit (g , w) ∈ G
. On écrit g = z g, avec z ∈ Z( ˆ
G ) et (g, w) ∈ G
.
Ecrivons ˆ
ξ 1 (g, w) = z 1 h × w, avec z 1 ∈ Z( ˆ
G
1 ) et h ∈ ˆ
G
. On note ˆ
ξ ,1 (g , w)
l’image de (h, z , z 1 ) dans ˆ
G
,1 . On vérifie que ce terme ne dépend pas des choix
faits et que l’application ˆ
ξ ,1 ainsi définie est un homomorphisme. On note ˜
G
,1 le
produit fibré de ˜
G
(qui est l’espace de la donnée endoscopique G
) et de ˜
G
1
au-dessus de ˜
G
. Soit (δ ,1 , γ ) un couples d’éléments de ˜
G
,1 (R) × ˜
G (R) qui
sont fortement réguliers et qui se correspondent. Ce couple a une image naturelle
(δ 1 , γ) ∈ ˜
G
1 (R)× ˜
G(R) formée d’éléments fortement réguliers qui se correspondent.
On pose Δ ,1 (δ ,1 , γ ) = Δ 1 (δ 1 , γ). On vérifie que G
,1 , ˜
G
,1 , C 1 , ˆ
ξ ,1 , Δ ,1 est un
ensemble de données auxiliaires pour G
.
Considérons maintenant d’autres données indexées par comme en (1). Pour
la même donnée G
et les mêmes données auxiliaires, on construit de même G
et des données auxiliaires G
,1 ,. . ., Δ ,1 . On peut appliquer aussi ces constructions pour les produits fibrés G
,, et ˜
G
,, . On a donc une donnée endoscopique
G
,, pour (G
,, , ˜
G
,, ) et des données auxiliaires G
,,,1 ,. . .,Δ ,,,1 . On vérifie que
G
,,,1 est le produit fibré de G
,1 et G
,1 au-dessus de G
1 et que ˜
G
,,,1 est le produit fibré de ˜
G
,1 et ˜
G
,1 au-dessus de G
1 . D’après [I] 1.12 et (2) ci-dessus, on
a un homomorphisme naturel G
ab (R) → G ab (R) et une application compatible
˜
G
ab (R) → ˜
G ab (R). De même, on a un homomorphisme G
,,,ab (R) → G ,,,ab (R) et
une application compatible ˜
G
,,,ab (R) → ˜
G ,,,ab (R). On les compose en un homomorphisme G
,,,1,ab (R) → G ,,,ab (R) et une application compatible ˜
G
,,,1,ab (R) →
˜
G ,,,ab (R). Grâce à (2), le caractère λ ,, se factorise en un homomorphisme de
G ,, (R) et l’application ˜
λ ,, se factorise en une application définie sur ˜
G ,, (R). Par
composition avec les applications précédentes, on obtient un caractère λ
,,,1 de
G
,,,1 (R) et une application compatible ˜
λ
,,,1 sur ˜
G
,,,1 (R). Le triplet ˜
G
,1 , ˜
G
1 et
˜
G
,1 vérifie les mêmes conditions que ˜
G , ˜
G, ˜
G mais, comme toujours, si G
= G,
on a dim(G
SC ) < dim(G SC ) et on peut appliquer à ce triplet les hypothèses de
récurrence.
Introduisons des notations pour nos applications
D tr-orb ( ˜
G (R))
D tr-orb ( ˜
G (R))
p λ ↓
p λ ↓
D tr-orb,λ ( ˜
G (R))
ι
→ D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) .
On veut prouver que, pour γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R)), il existe γ ∈ D tr-orb ( ˜
G (R))
tel que ι ◦ p λ (γ ) = p λ (γ ). Par définition, on peut supposer soit que γ est une
honnête intégrale orbitale, soit qu’il existe G
∈ E( ˜
G) tel que G
= G, et un élément
δ ∈ D
st
tr-orb (G
) tel que γ = transfert(δ ). Dans le premier cas, il n’y a pas de