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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
est exacte. On pose G
= Z( ˆ
G )G
. Ce sous-groupe de
L G agit sur ˆ
G
, d’où une
action galoisienne sur ce groupe compatible avec la suite exacte ci-dessus. On
introduit un groupe G
quasi-déployé sur R de sorte que ˆ
G
, muni de son action
galoisienne, en soit un groupe dual. On a une suite exacte duale de la précédente
1 → C → G
→ G
→ 1.
La donnée G
= (G
, G
, s) est une donnée endoscopique pour (G , ˜
G ). On obtient une application G
→ G
qui, à une classe d’équivalence de donnée endoscopique pour (G, ˜
G), associe une classe d’équivalence de donnée endoscopique pour
(G , ˜
G ). Montrons qu’elle est bijective. Il suffit de définir son inverse. Pour cela,
partons d’une donnée endoscopique G
= (G
, G
, s) pour (G , ˜
G ). On suppose
s ∈ ˆ
T . Quitte à multiplier s par un élément de Z( ˆ
G ), on peut grâce à (3) supposer
que s ∈ ˆ
T . On a comme ci-dessus ˆ
G
= ( ˆ
G ) s = ˆ
T ˆ
G s , d’où ˆ
G
∩ ˆ
G = ˆ
T ˆ
G s = ˆ
G s
puisque ˆ
T ⊂ ˆ
G s . En posant ˆ
G
= ˆ
G s , on a encore la suite exacte (4). On introduit un groupe G
quasi-déployé sur R de sorte que ˆ
G
soit dual de G
. Posons
G
= G
∩
L G. Montrons que le triplet G
= (G
, G
, s) est une donnée endoscopique
pour (G, ˜
G). La seule condition non évidente est la suivante. Il existe un cocycle
a : W R → Z( ˆ
G ), qui est un cobord, de sorte que sgw(s)
−1 = a(w)g pour tout
w ∈ W R et tout (g, w) ∈ G
. Quand on se restreint à (g, w) ∈ G
, tous les termes
sauf éventuellement a(w) sont dans ˆ
G. Ce dernier terme est donc lui-aussi dans
ˆ
G, donc dans Z( ˆ
G ) ∩ ˆ
G = Z( ˆ
G). Donc a est un cocycle de W R dans Z( ˆ
G). Il faut
voir que c’est un cobord. Cela résulte de
(5) l’homomorphisme naturel H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W R ; Z( ˆ
G )) est injectif.
Il s’insère dans une suite exacte
1 → Z( ˆ
G)
Γ R → Z( ˆ
G )
Γ R → ˆ
C
Γ R
→ H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W R ; Z( ˆ
G )).
La suite (3) entraîne que l’homomorphisme Z( ˆ
G )
Γ R ,0
→ ˆ
C
Γ R ,0
est surjectif. Or ˆ
C
est induit donc ˆ
C
Γ R
est connexe. Il en résulte que le deuxième homomorphisme de
la suite ci-dessus est surjectif, d’où (5).
Il est clair que l’application G
→ G
que l’on vient de construire est inverse
de la précédente, ce qui prouve la bijectivité de ces deux applications.
Considérons deux données G
et G
qui se correspondent ainsi. Rappelons
que, puisque (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, G
est relevante
si et seulement si ˜
G
(R) = ∅ ([I] lemme 1.9). De même pour ˜
G
. Puisque C
est induit, l’application ˜
G
(R) → ˜
G
(R) est surjective. Les deux ensembles sont
vides ou non vides simultanémént. Donc G
est relevante si et seulement si G
l’est. Supposons ces données relevantes. Fixons des données supplémentaires G
1 ,
˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 pour G
. Notons G
,1 le produit fibré de G
et G
1 au-dessus
de G
. Le groupe dual ˆ
G
,1 s’identifie au quotient de ˆ
G
× Z( ˆ
G ) × Z( ˆ
G 1 ) par
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
est exacte. On pose G
= Z( ˆ
G )G
. Ce sous-groupe de
L G agit sur ˆ
G
, d’où une
action galoisienne sur ce groupe compatible avec la suite exacte ci-dessus. On
introduit un groupe G
quasi-déployé sur R de sorte que ˆ
G
, muni de son action
galoisienne, en soit un groupe dual. On a une suite exacte duale de la précédente
1 → C → G
→ G
→ 1.
La donnée G
= (G
, G
, s) est une donnée endoscopique pour (G , ˜
G ). On obtient une application G
→ G
qui, à une classe d’équivalence de donnée endoscopique pour (G, ˜
G), associe une classe d’équivalence de donnée endoscopique pour
(G , ˜
G ). Montrons qu’elle est bijective. Il suffit de définir son inverse. Pour cela,
partons d’une donnée endoscopique G
= (G
, G
, s) pour (G , ˜
G ). On suppose
s ∈ ˆ
T . Quitte à multiplier s par un élément de Z( ˆ
G ), on peut grâce à (3) supposer
que s ∈ ˆ
T . On a comme ci-dessus ˆ
G
= ( ˆ
G ) s = ˆ
T ˆ
G s , d’où ˆ
G
∩ ˆ
G = ˆ
T ˆ
G s = ˆ
G s
puisque ˆ
T ⊂ ˆ
G s . En posant ˆ
G
= ˆ
G s , on a encore la suite exacte (4). On introduit un groupe G
quasi-déployé sur R de sorte que ˆ
G
soit dual de G
. Posons
G
= G
∩
L G. Montrons que le triplet G
= (G
, G
, s) est une donnée endoscopique
pour (G, ˜
G). La seule condition non évidente est la suivante. Il existe un cocycle
a : W R → Z( ˆ
G ), qui est un cobord, de sorte que sgw(s)
−1 = a(w)g pour tout
w ∈ W R et tout (g, w) ∈ G
. Quand on se restreint à (g, w) ∈ G
, tous les termes
sauf éventuellement a(w) sont dans ˆ
G. Ce dernier terme est donc lui-aussi dans
ˆ
G, donc dans Z( ˆ
G ) ∩ ˆ
G = Z( ˆ
G). Donc a est un cocycle de W R dans Z( ˆ
G). Il faut
voir que c’est un cobord. Cela résulte de
(5) l’homomorphisme naturel H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W R ; Z( ˆ
G )) est injectif.
Il s’insère dans une suite exacte
1 → Z( ˆ
G)
Γ R → Z( ˆ
G )
Γ R → ˆ
C
Γ R
→ H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) → H
1 (W R ; Z( ˆ
G )).
La suite (3) entraîne que l’homomorphisme Z( ˆ
G )
Γ R ,0
→ ˆ
C
Γ R ,0
est surjectif. Or ˆ
C
est induit donc ˆ
C
Γ R
est connexe. Il en résulte que le deuxième homomorphisme de
la suite ci-dessus est surjectif, d’où (5).
Il est clair que l’application G
→ G
que l’on vient de construire est inverse
de la précédente, ce qui prouve la bijectivité de ces deux applications.
Considérons deux données G
et G
qui se correspondent ainsi. Rappelons
que, puisque (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, G
est relevante
si et seulement si ˜
G
(R) = ∅ ([I] lemme 1.9). De même pour ˜
G
. Puisque C
est induit, l’application ˜
G
(R) → ˜
G
(R) est surjective. Les deux ensembles sont
vides ou non vides simultanémént. Donc G
est relevante si et seulement si G
l’est. Supposons ces données relevantes. Fixons des données supplémentaires G
1 ,
˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1 pour G
. Notons G
,1 le produit fibré de G
et G
1 au-dessus
de G
. Le groupe dual ˆ
G
,1 s’identifie au quotient de ˆ
G
× Z( ˆ
G ) × Z( ˆ
G 1 ) par