V.2. Un nouvel espace de distributions
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Avant de prouver (1), on doit rappeler qu’en [I] 1.12, on a défini un groupe
G ab (R), un groupe réductif connexe G 0 et des homomorphismes
G(R) → G ab (R)
N
G
→ G 0,ab (R).
On a des objets similaires pour les espaces tordus, ainsi que des applications
˜
G(R) → ˜
G ab (R)
N
˜
G
→ ˜
G 0,ab (R).
On a
(2) G 0 = G, ˜
G 0 = ˜
G et les applications G(R) → G ab (R) et ˜
G(R) → ˜
G ab (R) sont
surjectives.
Preuve. Les assertions pour les espaces tordus résultent de celles pour les groupes.
Le groupe G 0 est le groupe quasi-déployé tel que ˆ
G 0 = ˆ
G
ˆ
θ,0 . Ici, ˆ
θ = 1 et G est
quasi-déployé, d’où G 0 = G. Par définition, G ab (R) = H
1,0 (Γ R ; G SC G). Fixons
une paire de Borel (B, T ) de G définie sur R. L’application naturelle
H
1,0 (Γ R ; T sc → T ) → H
1,0 (Γ R ; G SC G)
est bijective. On a une suite exacte
T (R) = H
0 (Γ R ; T ) → H
1,0 (Γ R ; T sc → T ) → H
1 (Γ R ; T sc ).
Mais T sc est un tore induit, donc le dernier groupe est nul. La première flèche est
donc surjective et, a fortiori, l’homomorphisme G(R) → G ab (R) est surjectif.
Prouvons (1). Rappelons la suite exacte
1 → ˆ
G → ˆ
G → ˆ
C → 1.
On fixe une paire de Borel épinglée de ˆ
G conservée par l’action galoisienne. Elle
se restreint naturellement en une telle paire pour ˆ
G. En notant ˆ
T et ˆ
T leurs tores,
on a la suite exacte
1 → ˆ
T → ˆ
T → ˆ
C → 1.
Elle se restreint en une suite exacte
(3)
1 → Z( ˆ
G) → Z( ˆ
G 񐡾 ) → ˆ
C 񐡾 → 1.
Soit G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G). On ne perd rien à supposer que s ∈ ˆ
T . On a ˆ
G
= ˆ
G s , c’est-à-dire que ˆ
G
est la composante neutre du
centralisateur Z ˆ
G (s) de s dans ˆ
G. Posons ˆ
G
= ( ˆ
G ) s . On a ˆ
G
= ˆ
T ˆ
G
= Z( ˆ
G ) ˆ
G
et la suite
(4)
1 → ˆ
G
→ ˆ
G
→ ˆ
C → 1