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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
note D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) l’image naturelle de D
st
tr-orb ( ˜
G (R)) dans D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (R)).
Supposons donnés d’autres objets
1 → C → G → G → 1 , ˜
G → ˜
G
et λ vérifiant les mêmes conditions. Supposons donnés comme en 1.4 un caractère
λ ,, de G ,, (R) et une fonction ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (R) se transformant selon le caractère
λ ,, . A l’aide de cette fonction, on construit les isomorphismes habituels
D g´ eom,λ ( ˜
G (R)) D g´ eom,λ ( ˜
G (R))
D
st
g´ eom,λ ( ˜
G (R)) D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (R)).
On montrera plus loin que
(1) D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) et D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) se correspondent par le premier isomorphisme ; D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) et D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) se correspondent par le
second.
Si maintenant G
= (G
, G
, s) est une donnée endoscopique relevante de
(G, ˜
G, a), avec G
= G, on introduit des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . L’espace D
st
tr-orb,λ1 ( ˜
G 1 (R)) est bien défini et on note D
st
tr-orb (G
) le sous-espace de
D
st
g´ eom (G
) auquel il s’identifie. D’après (1), cette définition ne dépend pas du
choix des données auxiliaires. On peut montrer que, si G
0 est une donnée endoscopique équivalente à G
, l’isomorphisme déduit d’une équivalence entre D
st
g´ eom (G
)
et D
st
g´ eom (G
0 ) envoie D
st
tr-orb (G
) sur D
st
tr-orb (G
0 ) (on ne donnera pas la preuve
formelle similaire à celle de (1)). Rappelons qu’en général, on note E( ˜
G, a) un
ensemble de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques elliptiques et relevantes de (G, ˜
G, a). On simplifie cette notation en E( ˜
G) dans notre
situation quasi-déployée à torsion intérieure. Cela étant, on définit D tr-orb ( ˜
G(R))
comme le sous-espace de D g´ eom ( ˜
G(R)) engendré par D orb ( ˜
G(R)) et par les images
par transfert des espaces D
st
tr-orb (G
) pour G
∈ E( ˜
G) tel que G
= G.
Soit (G, ˜
G, a) un triplet qui n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure.
On définit D tr-orb ( ˜
G(R), ω) comme le sous-espace de D g´ eom ( ˜
G(R), ω) engendré
par D orb ( ˜
G(R), ω) et par les images par transfert des espaces D
st
tr-orb (G
) pour
G
∈ E( ˜
G, a).
Soit (KG, K ˜
G, a) un K-triplet. On définit D tr-orb (K ˜
G(R), ω) comme le sousespace de D g´ eom (K ˜
G(R), ω) engendré par D orb (K ˜
G(R), ω) et par les images par
transfert des espaces D
st
tr-orb (G
) pour G
∈ E( ˜
G, a).
Remarque. Pour p ∈ Π, la projection naturelle
D g´ eom (K ˜
G(R), ω) → D g´ eom ( ˜
G p (R), ω)
envoie D tr-orb (K ˜
G(R), ω) sur D tr-orb ( ˜
G p (R), ω). Nous ignorons par contre si l’homomorphisme
D tr-orb (K ˜
G(R), ω) → ⊕ p∈Π D tr-orb ( ˜
G p (R), ω)
est surjectif.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
note D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) l’image naturelle de D
st
tr-orb ( ˜
G (R)) dans D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (R)).
Supposons donnés d’autres objets
1 → C → G → G → 1 , ˜
G → ˜
G
et λ vérifiant les mêmes conditions. Supposons donnés comme en 1.4 un caractère
λ ,, de G ,, (R) et une fonction ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (R) se transformant selon le caractère
λ ,, . A l’aide de cette fonction, on construit les isomorphismes habituels
D g´ eom,λ ( ˜
G (R)) D g´ eom,λ ( ˜
G (R))
D
st
g´ eom,λ ( ˜
G (R)) D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (R)).
On montrera plus loin que
(1) D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) et D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) se correspondent par le premier isomorphisme ; D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) et D
st
tr-orb,λ
( ˜
G (R)) se correspondent par le
second.
Si maintenant G
= (G
, G
, s) est une donnée endoscopique relevante de
(G, ˜
G, a), avec G
= G, on introduit des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . L’espace D
st
tr-orb,λ1 ( ˜
G 1 (R)) est bien défini et on note D
st
tr-orb (G
) le sous-espace de
D
st
g´ eom (G
) auquel il s’identifie. D’après (1), cette définition ne dépend pas du
choix des données auxiliaires. On peut montrer que, si G
0 est une donnée endoscopique équivalente à G
, l’isomorphisme déduit d’une équivalence entre D
st
g´ eom (G
)
et D
st
g´ eom (G
0 ) envoie D
st
tr-orb (G
) sur D
st
tr-orb (G
0 ) (on ne donnera pas la preuve
formelle similaire à celle de (1)). Rappelons qu’en général, on note E( ˜
G, a) un
ensemble de représentants des classes d’équivalence de données endoscopiques elliptiques et relevantes de (G, ˜
G, a). On simplifie cette notation en E( ˜
G) dans notre
situation quasi-déployée à torsion intérieure. Cela étant, on définit D tr-orb ( ˜
G(R))
comme le sous-espace de D g´ eom ( ˜
G(R)) engendré par D orb ( ˜
G(R)) et par les images
par transfert des espaces D
st
tr-orb (G
) pour G
∈ E( ˜
G) tel que G
= G.
Soit (G, ˜
G, a) un triplet qui n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure.
On définit D tr-orb ( ˜
G(R), ω) comme le sous-espace de D g´ eom ( ˜
G(R), ω) engendré
par D orb ( ˜
G(R), ω) et par les images par transfert des espaces D
st
tr-orb (G
) pour
G
∈ E( ˜
G, a).
Soit (KG, K ˜
G, a) un K-triplet. On définit D tr-orb (K ˜
G(R), ω) comme le sousespace de D g´ eom (K ˜
G(R), ω) engendré par D orb (K ˜
G(R), ω) et par les images par
transfert des espaces D
st
tr-orb (G
) pour G
∈ E( ˜
G, a).
Remarque. Pour p ∈ Π, la projection naturelle
D g´ eom (K ˜
G(R), ω) → D g´ eom ( ˜
G p (R), ω)
envoie D tr-orb (K ˜
G(R), ω) sur D tr-orb ( ˜
G p (R), ω). Nous ignorons par contre si l’homomorphisme
D tr-orb (K ˜
G(R), ω) → ⊕ p∈Π D tr-orb ( ˜
G p (R), ω)
est surjectif.