V.2. Un nouvel espace de distributions
491
transfert transfert
K ˜
G (δ) de δ à K ˜
M (R). Sa composante sur ˜
M (R) est transfert(δ).
On ne connaît pas les autres composantes, mais peu importe. Par définition, on a
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f
K ˜
G ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert
K ˜
M (δ), f
K ˜
G ).
Grâce au théorème, on obtient
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert
K ˜
M (δ), f
K ˜
G ).
Puisque f
K ˜
G est concentré sur la composante ˜
G(R), ce dernier terme est égal par
définition à I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), f ). Cela prouve (1).
V.1.13 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante
de (M, ˜
M, a M ).
Proposition. Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
)⊗Mes(M
(R))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(R))⊗
Mes(G(R)), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), f ).
Preuve. Un argument analogue à celui du paragraphe 1.11 nous ramène au cas où
δ appartient à D
st
orb (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et le support de δ est formé d’éléments
˜
G-réguliers. La preuve est alors la même que celle de la proposition [III] 2.9(ii).
C’est-à-dire que les constructions de la section 2 de [III] nous ramènent au cas d’un
groupe sans torsion. Dans ce cas, l’assertion résulte de [16] théorème 1.1(a).
V.2 Un nouvel espace de distributions
V.2.1 Définition de l’espace D tr-orb ( ˜
G(R), ω)
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. On définit un sousespace D tr-orb ( ˜
G(R)) ⊂ D g´ eom ( ˜
G(R)) par récurrence sur dim(G SC ). Une fois cet
espace défini, on pose D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) = D tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ D
st
g´ eom ( ˜
G(R)). On a besoin
d’étendre les définitions dans la situation habituelle suivante. On considère des
extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est encore à torsion intérieure. On se donne
de plus un caractère λ de C (R). En supposant défini l’espace D tr-orb ( ˜
G (R)), on
note D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) son image naturelle dans D g´ eom,λ ( ˜
G (R)). De même, on
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transfert transfert
K ˜
G (δ) de δ à K ˜
M (R). Sa composante sur ˜
M (R) est transfert(δ).
On ne connaît pas les autres composantes, mais peu importe. Par définition, on a
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f
K ˜
G ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(transfert
K ˜
M (δ), f
K ˜
G ).
Grâce au théorème, on obtient
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert
K ˜
M (δ), f
K ˜
G ).
Puisque f
K ˜
G est concentré sur la composante ˜
G(R), ce dernier terme est égal par
définition à I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), f ). Cela prouve (1).
V.1.13 Le cas quasi-déployé et à torsion intérieure
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante
de (M, ˜
M, a M ).
Proposition. Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
)⊗Mes(M
(R))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(R))⊗
Mes(G(R)), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), f ).
Preuve. Un argument analogue à celui du paragraphe 1.11 nous ramène au cas où
δ appartient à D
st
orb (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et le support de δ est formé d’éléments
˜
G-réguliers. La preuve est alors la même que celle de la proposition [III] 2.9(ii).
C’est-à-dire que les constructions de la section 2 de [III] nous ramènent au cas d’un
groupe sans torsion. Dans ce cas, l’assertion résulte de [16] théorème 1.1(a).
V.2 Un nouvel espace de distributions
V.2.1 Définition de l’espace D tr-orb ( ˜
G(R), ω)
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure. On définit un sousespace D tr-orb ( ˜
G(R)) ⊂ D g´ eom ( ˜
G(R)) par récurrence sur dim(G SC ). Une fois cet
espace défini, on pose D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) = D tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ D
st
g´ eom ( ˜
G(R)). On a besoin
d’étendre les définitions dans la situation habituelle suivante. On considère des
extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est encore à torsion intérieure. On se donne
de plus un caractère λ de C (R). En supposant défini l’espace D tr-orb ( ˜
G (R)), on
note D tr-orb,λ ( ˜
G (R)) son image naturelle dans D g´ eom,λ ( ˜
G (R)). De même, on