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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Preuve. On oublie comme toujours les questions de mesures. On fixe une classe
de conjugaison stable semi-simple O dans K ˜
M (R) qui est ˜
G-équisingulière. On
doit montrer que, sous l’hypothèse de l’énoncé, le théorème est vérifié pour γ ∈
D g´ eom (O, ω).
D’après la définition de 1.3, on peut fixer une fonction f
∈ I(K ˜
M (R), ω)
telle que
(1)
I
K ˜
G
K ˜
M
(τ , f) = I
K ˜
M (τ , f
)
pour tout τ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) dont le support est formé d’éléments assez réguliers et voisins de O ;
(2)
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f) = I
K ˜
M (γ, f
)
pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω).
Le lemme 1.9 nous fournit une fonction f
qui a les mêmes propriétés relativement aux intégrales orbitales pondérées endoscopiques :
(3)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(τ , f) = I
K ˜
M (τ , f
)
pour tout τ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) dont le support est formé d’éléments assez réguliers et voisins de O ;
(4)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f) = I
K ˜
M (γ, f
)
pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω).
L’hypothèse de l’énoncé et les relations (1) et (3) impliquent que f
et f
sont égales au voisinage de O. Mais alors les relations (2) et (4) impliquent l’égalité
cherchée.
V.1.12 Elimination des K-espaces
Revenons à un triplet (G, ˜
G, a) et à un espace de Levi ˜
M de ˜
G. On peut inclure le
triplet comme composante connexe d’un triplet (KG, K ˜
G, a). L’espace ˜
M est alors
une composante connexe d’un K-espace K ˜
M et on ne perd rien à supposer que
K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ). Supposons le théorème 1.10 prouvé pour ces données. Soient
M
∈ E(K ˜
M , a M ), δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R), ω) ⊗
Mes(G(R)). On a défini I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) en 1.6. On note ici transfert(δ) le transfert
de δ à ˜
M (R). On a alors l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(transfert(δ), f ).
En effet, introduisons la fonction f
K ˜
G
∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) dont la composante sur ˜
G(R) est f et dont les autres composantes sont nulles. Introduisons le