V.1. Intégrales orbitales pondérées
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où τ M ∈ D
st
orb (M
) a pour support des éléments assez réguliers et voisins de O ˜
M .
Alors
I
K ˜
M (τ , f
) =
M ∈E(K ˜
M,aM )
I
K ˜
M (transfert(τ M ), f
)
=
M ∈E(K ˜
M,aM )
S
M
(τ M , (f
)
M
)
=
M ∈E(K ˜
M,aM )
S
M
(τ M , g K ˜
M,M )
=
M ∈E(K ˜
M,aM )
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, τ M , f),
cette dernière égalité provenant de (6). Par définition, la dernière expression vaut
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(τ , f). Cela prouve que la fonction f
satisfait le (i) de l’énoncé.
La preuve du (ii) est similaire, en utilisant la relation suivante pour M
∈
E(K ˜
M , a M ) :
S
M
(δ, g K ˜
M,M ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f),
pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ). Elle résulte de la définition de g K ˜
M,M et de (2)
ci-dessus. Cela achève la preuve.
V.1.10 Le théorème principal
Evidemment, la définition des intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes donnée en 1.3 s’adapte aux K-espaces. Soit K ˜
M un K-espace de Levi de K ˜
G.
Théorème (à prouver). Soient γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et
f ∈ I(K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). Alors on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
Dans le paragraphe suivant, on montre que l’on peut supposer que le support
de γ est formé d’éléments ˜
G-réguliers. Pour de tels éléments, le théorème sera
démontré en [X] 3.5 et [X] 7.7.
V.1.11 Réduction au cas des intégrales orbitales régulières
Lemme. Soit f ∈ I(K ˜
G(R))⊗ Mes(G(R)). Supposons l’égalité du théorème vérifiée
pour tout γ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ dont le support est formé d’éléments
˜
G-réguliers. Alors elle l’est pour tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ .