488
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Celle-ci n’est pas vérifiée en général, mais elle l’est au voisinage de O ˜
R . En
effet, soit τ ∈ D
st
orb (R
) dont le support est formé d’éléments assez réguliers et
assez voisins de O ˜
R . Les propriétés (1) et (3) nous disent que
(5)
S
R
(τ , g K ˜
R,R ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L,E
K ˜
R
(R
, τ , f K ˜
L,ω ).
On a aussi
S
R
(τ , (g K ˜
M,M ) ˜
R ) = S
M
(τ
˜
M
, g K ˜
M,M ).
La relation (5) appliquée au couple (K ˜
M, M
) se simplifie en
(6)
S
M
(τ
, g K ˜
M,M ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, τ
, f),
pour tout τ
∈ D
st
orb (M
) dont le support est formé d’éléments assez réguliers et
assez voisins de O ˜
M . En l’utilisant , on obtient
S
R
(τ , (g K ˜
M,M ) ˜
R ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, τ
˜
M
, f).
La relation 1.6(1) dit que ceci est égal au membre de droite de (5). Donc l’égalité
(4) est bien vérifiée au voisinage de O ˜
R .
Nous ne détaillerons pas la troisième condition de la proposition [I] 4.11 : sa
validité locale résulte comme ci-dessus de la relation 1.6(2).
Toute fonction ξ sur V
K ˜
M se relève en une fonction sur K ˜
M (R) : c’est la
fonction γ → ξ(v γ ), où, pour γ ∈ K ˜
M (R), v γ est le point de V
K ˜
M qui classifie la
partie semi-simple de γ. Fixons un voisinage Ω 1 de v O et un voisinage Ω 2 de la
clôture de Ω 1 . Fixons une fonction ξ sur V
K ˜
M qui est C
∞ , qui vaut 1 sur Ω 1 et
vaut 0 hors de Ω 2 . Pour tout ˜
R
intervenant ci-dessus, V
˜
R
s’envoie dans V
K ˜
M . Par
composition avec cette application, ξ devient une fonction sur V
˜
R
, qui se relève
en une fonction ξ ˜
R sur ˜
R
(R). Remplaçons g K ˜
R,R par son produit avec ξ ˜
R . Cela
ne retire rien aux propriétés de cette fonction. Mais il est plus ou moins clair que,
si l’on choisit Ω 2 assez petit, l’égalité (4), qui n’était vérifiée que localement, est
maintenant vérifiée partout : on a annulé les fonctions là où l’égalité n’était pas
vérifiée.
On a maintenant obtenu une famille (g K ˜
R,R ) (K ˜
R,R )∈E+(K ˜
M,aM ) qui vérifie
les conditions de la proposition 4.11 de [I]. Cette proposition nous dit qu’il existe
un unique f
∈ I(K ˜
M (R), ω) tel que, pour tout M
∈ E(K ˜
M, a M ), le terme
g K ˜
M,M soit égal au transfert (f
)
M
. Soit τ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) dont le support
est formé d’éléments ˜
G-réguliers et assez voisins de O. On peut écrire
τ =
M ∈E(K ˜
M,aM )
transfert(τ M ),
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Celle-ci n’est pas vérifiée en général, mais elle l’est au voisinage de O ˜
R . En
effet, soit τ ∈ D
st
orb (R
) dont le support est formé d’éléments assez réguliers et
assez voisins de O ˜
R . Les propriétés (1) et (3) nous disent que
(5)
S
R
(τ , g K ˜
R,R ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L,E
K ˜
R
(R
, τ , f K ˜
L,ω ).
On a aussi
S
R
(τ , (g K ˜
M,M ) ˜
R ) = S
M
(τ
˜
M
, g K ˜
M,M ).
La relation (5) appliquée au couple (K ˜
M, M
) se simplifie en
(6)
S
M
(τ
, g K ˜
M,M ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, τ
, f),
pour tout τ
∈ D
st
orb (M
) dont le support est formé d’éléments assez réguliers et
assez voisins de O ˜
M . En l’utilisant , on obtient
S
R
(τ , (g K ˜
M,M ) ˜
R ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, τ
˜
M
, f).
La relation 1.6(1) dit que ceci est égal au membre de droite de (5). Donc l’égalité
(4) est bien vérifiée au voisinage de O ˜
R .
Nous ne détaillerons pas la troisième condition de la proposition [I] 4.11 : sa
validité locale résulte comme ci-dessus de la relation 1.6(2).
Toute fonction ξ sur V
K ˜
M se relève en une fonction sur K ˜
M (R) : c’est la
fonction γ → ξ(v γ ), où, pour γ ∈ K ˜
M (R), v γ est le point de V
K ˜
M qui classifie la
partie semi-simple de γ. Fixons un voisinage Ω 1 de v O et un voisinage Ω 2 de la
clôture de Ω 1 . Fixons une fonction ξ sur V
K ˜
M qui est C
∞ , qui vaut 1 sur Ω 1 et
vaut 0 hors de Ω 2 . Pour tout ˜
R
intervenant ci-dessus, V
˜
R
s’envoie dans V
K ˜
M . Par
composition avec cette application, ξ devient une fonction sur V
˜
R
, qui se relève
en une fonction ξ ˜
R sur ˜
R
(R). Remplaçons g K ˜
R,R par son produit avec ξ ˜
R . Cela
ne retire rien aux propriétés de cette fonction. Mais il est plus ou moins clair que,
si l’on choisit Ω 2 assez petit, l’égalité (4), qui n’était vérifiée que localement, est
maintenant vérifiée partout : on a annulé les fonctions là où l’égalité n’était pas
vérifiée.
On a maintenant obtenu une famille (g K ˜
R,R ) (K ˜
R,R )∈E+(K ˜
M,aM ) qui vérifie
les conditions de la proposition 4.11 de [I]. Cette proposition nous dit qu’il existe
un unique f
∈ I(K ˜
M (R), ω) tel que, pour tout M
∈ E(K ˜
M, a M ), le terme
g K ˜
M,M soit égal au transfert (f
)
M
. Soit τ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) dont le support
est formé d’éléments ˜
G-réguliers et assez voisins de O. On peut écrire
τ =
M ∈E(K ˜
M,aM )
transfert(τ M ),