V.1. Intégrales orbitales pondérées
487
réunion de classes de conjugaison stable qui sont ˜
L
(˜ s)-équisingulières). D’après
une variante des relations (2) et (3) de 1.4 (voir aussi les relations (8) et (9) de ce
paragraphe), il existe une fonction g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s) ∈ SI(R
) telle que
(1) pour tout τ ∈ D
st
orb (R
) dont le support est formé d’éléments assez réguliers
et assez voisins de O ˜
R , on a l’égalité
S
L
(˜ s)
R (τ , (f K ˜
L,ω )
L
(˜ s) ) = S
R
(τ , g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s));
(2) pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (R
, O ˜
R ), on a l’égalité
S
L
(˜ s)
R (δ, (f K ˜
L,ω )
L
(˜ s) ) = S
R
(δ, g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s)).
Introduisons le groupe Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
) des automorphismes de (K ˜
R, R
),
l’espace ambiant étant K ˜
M . Ce groupe agit sur SI(R
) et cette action se factorise par un quotient fini. Notons Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
) un tel quotient fini. Soit
x ∈ Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
). L’élément x permute les couples (K ˜
L, ˜
s) intervenant cidessus. On vérifie aisément que la fonction x(g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s)) a les mêmes propriétés que g K ˜
R,R (x(K ˜
L, ˜
s)). On peut donc aussi bien remplacer chaque fonction
g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s) par
|Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
)|
−1
x∈Aut K ˜
M (K ˜
R,R )
x(g K ˜
R,R (x
−1 (K ˜
L, ˜
s))).
Cela fait, posons
(3)
g K ˜
R,R =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
˜
s∈Z( ˆ
R) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ R , ˆ
θ
i ˜
R ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s).
Alors cette fonction est invariante par Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
). Fixons un ensemble de
représentants E + (K ˜
M , a M ) des classes d’équivalence de couples (K ˜
R, R
) comme
ci-dessus. Nos constructions définissent une famille (g K ˜
R,R ) (K ˜
R,R )∈E+(K ˜
M,aM ) .
Considérons les conditions de la proposition 4.11 de [I]. La première condition
est l’invariance de g K ˜
R,R par Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
), qui est vérifiée par construction.
Pour la deuxième condition, soient M
∈ E(K ˜
M , a M ), ˜
R
un espace de Levi de
˜
M
qui est relevant et soit (K ˜
R, R
) l’élément de E + (K ˜
M, a M ) qui lui est associé.
La condition de [I] 4.11 impose l’égalité
(4)
(g K ˜
M,M ) ˜
R = g K ˜
R,R .
487
réunion de classes de conjugaison stable qui sont ˜
L
(˜ s)-équisingulières). D’après
une variante des relations (2) et (3) de 1.4 (voir aussi les relations (8) et (9) de ce
paragraphe), il existe une fonction g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s) ∈ SI(R
) telle que
(1) pour tout τ ∈ D
st
orb (R
) dont le support est formé d’éléments assez réguliers
et assez voisins de O ˜
R , on a l’égalité
S
L
(˜ s)
R (τ , (f K ˜
L,ω )
L
(˜ s) ) = S
R
(τ , g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s));
(2) pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (R
, O ˜
R ), on a l’égalité
S
L
(˜ s)
R (δ, (f K ˜
L,ω )
L
(˜ s) ) = S
R
(δ, g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s)).
Introduisons le groupe Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
) des automorphismes de (K ˜
R, R
),
l’espace ambiant étant K ˜
M . Ce groupe agit sur SI(R
) et cette action se factorise par un quotient fini. Notons Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
) un tel quotient fini. Soit
x ∈ Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
). L’élément x permute les couples (K ˜
L, ˜
s) intervenant cidessus. On vérifie aisément que la fonction x(g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s)) a les mêmes propriétés que g K ˜
R,R (x(K ˜
L, ˜
s)). On peut donc aussi bien remplacer chaque fonction
g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s) par
|Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
)|
−1
x∈Aut K ˜
M (K ˜
R,R )
x(g K ˜
R,R (x
−1 (K ˜
L, ˜
s))).
Cela fait, posons
(3)
g K ˜
R,R =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
˜
s∈Z( ˆ
R) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ R , ˆ
θ
i ˜
R ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))g K ˜
R,R (K ˜
L, ˜
s).
Alors cette fonction est invariante par Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
). Fixons un ensemble de
représentants E + (K ˜
M , a M ) des classes d’équivalence de couples (K ˜
R, R
) comme
ci-dessus. Nos constructions définissent une famille (g K ˜
R,R ) (K ˜
R,R )∈E+(K ˜
M,aM ) .
Considérons les conditions de la proposition 4.11 de [I]. La première condition
est l’invariance de g K ˜
R,R par Aut
K ˜
M (K ˜
R, R
), qui est vérifiée par construction.
Pour la deuxième condition, soient M
∈ E(K ˜
M , a M ), ˜
R
un espace de Levi de
˜
M
qui est relevant et soit (K ˜
R, R
) l’élément de E + (K ˜
M, a M ) qui lui est associé.
La condition de [I] 4.11 impose l’égalité
(4)
(g K ˜
M,M ) ˜
R = g K ˜
R,R .