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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ
˜
M , f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L
K ˜
R
(γ, f K ˜
L,ω ).
Remarque. Si l’on ne travaillait pas avec un K-espace, mais seulement avec une
composante, la somme (2) ne serait plus en général indépendante de la décomposition (1) choisie.
V.1.9 Une propriété locale des intégrales orbitales
ω-équivariantes endoscopiques
On conserve la même situation. Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple
dans K ˜
M (R). On se débarrasse ici des espaces de mesures de Haar en fixant de
telles mesures sur tous les groupes intervenant.
Lemme. On suppose que O est ˜
G-équisingulière. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω).
(i) Il existe une fonction f
∈ I(K ˜
M (R), ω) telle que, pour tout
τ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω)
dont le support est formé d’éléments ˜
G-réguliers et assez voisins de O, on ait
l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(τ , f) = I
K ˜
M (τ , f
).
(ii) Soit γ ∈ D g´ eom (O, ω). Pour f
comme en (i), on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f) = I
K ˜
M (γ, f
).
Preuve. Introduisons la paire de Borel épinglée E
∗ de M , dont on note T
∗ le tore.
Posons
V
K ˜
M =
((T
∗ /(1 − θ)(T
∗ ))/W
M,θ ) × Z(M) Z( ˜
M )
Γ R
,
cf. [I] 1.8. Cet ensemble est une variété analytique réelle. Les classes de conjugaison
semi-simples géométriques dans K ˜
M (R) sont classifiées par un sous-ensemble de
V
K ˜
M . La classe de conjugaison stable O étant incluse dans une classe de conjugaison semi-simple géométrique, il lui correspond un point v O ∈ V
K ˜
M . Soient
K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M et R
= (R
, R
, ˜
ζ) ∈ E(K ˜
R, a R ). Les classes
de conjugaison semi-simples géométriques dans ˜
R
(R) sont de même classifiées par
une variété V
˜
R
, qui s’envoie naturellement dans V
K ˜
M . On note O ˜
R la réunion
des classes de conjugaison stable semi-simples dans ˜
R
(R) dont l’image dans V
K ˜
M
est v O .
Soient K ˜
L ∈ L(K ˜
R) tel que d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0 et ˜
s ∈ Z( ˆ
R)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ . On a
déjà vu que O ˜
R était ˜
L
(˜ s)-équisingulière (on veut dire par là que cet ensemble est
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ
˜
M , f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L
K ˜
R
(γ, f K ˜
L,ω ).
Remarque. Si l’on ne travaillait pas avec un K-espace, mais seulement avec une
composante, la somme (2) ne serait plus en général indépendante de la décomposition (1) choisie.
V.1.9 Une propriété locale des intégrales orbitales
ω-équivariantes endoscopiques
On conserve la même situation. Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple
dans K ˜
M (R). On se débarrasse ici des espaces de mesures de Haar en fixant de
telles mesures sur tous les groupes intervenant.
Lemme. On suppose que O est ˜
G-équisingulière. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω).
(i) Il existe une fonction f
∈ I(K ˜
M (R), ω) telle que, pour tout
τ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω)
dont le support est formé d’éléments ˜
G-réguliers et assez voisins de O, on ait
l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(τ , f) = I
K ˜
M (τ , f
).
(ii) Soit γ ∈ D g´ eom (O, ω). Pour f
comme en (i), on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f) = I
K ˜
M (γ, f
).
Preuve. Introduisons la paire de Borel épinglée E
∗ de M , dont on note T
∗ le tore.
Posons
V
K ˜
M =
((T
∗ /(1 − θ)(T
∗ ))/W
M,θ ) × Z(M) Z( ˜
M )
Γ R
,
cf. [I] 1.8. Cet ensemble est une variété analytique réelle. Les classes de conjugaison
semi-simples géométriques dans K ˜
M (R) sont classifiées par un sous-ensemble de
V
K ˜
M . La classe de conjugaison stable O étant incluse dans une classe de conjugaison semi-simple géométrique, il lui correspond un point v O ∈ V
K ˜
M . Soient
K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M et R
= (R
, R
, ˜
ζ) ∈ E(K ˜
R, a R ). Les classes
de conjugaison semi-simples géométriques dans ˜
R
(R) sont de même classifiées par
une variété V
˜
R
, qui s’envoie naturellement dans V
K ˜
M . On note O ˜
R la réunion
des classes de conjugaison stable semi-simples dans ˜
R
(R) dont l’image dans V
K ˜
M
est v O .
Soient K ˜
L ∈ L(K ˜
R) tel que d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0 et ˜
s ∈ Z( ˆ
R)
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ . On a
déjà vu que O ˜
R était ˜
L
(˜ s)-équisingulière (on veut dire par là que cet ensemble est