V.1. Intégrales orbitales pondérées
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Soit p ∈ Π et soit f p ∈ C
∞
c ( ˜
G p (R)) ⊗ Mes(G(R)). On peut identifier f p à un
élément f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) dont les composantes f q sont nulles pour
q ∈ Π, q = p. Si p ∈ Π M , on a par définition
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) = I
K ˜
Gp,E
˜
Mp
(M
, δ, f ).
Par contre, si p ∈ Π − Π M , le membre de gauche est bien défini tandis que celui
de droite ne l’est pas. Il résultera du théorème 1.10 (quand celui-ci sera prouvé)
que le membre de gauche est nul. Mais ce n’est nullement évident a priori.
V.1.8 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques
On considère un triplet (KG,K ˜
G,a) où K ˜
G est un K-espace. Soit K ˜
M ∈L(K ˜
M 0 ).
Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans K ˜
M (R). On suppose que
O est ˜
G-équisingulière, c’est-à-dire que pour tout p ∈ Π M tel que O ∩ ˜
M p (R) =
∅, cette intersection, qui est une classe de conjugaison stable dans ˜
M p (R), est
˜
G p -équisingulière. On fixe un ensemble de représentants E( ˜
M , a M ) des classes
d’équivalence de données endoscopiques de (M, ˜
M , a M ) qui sont elliptiques et
relevantes. Pour tout M
∈ E( ˜
M , a M ), il correspond à O une réunion finie O ˜
M
de classes de conjugaison stable dans ˜
M
(R). D’après la définition du paragraphe
précédent, ces classes sont ˜
G-équisingulières. Soit γ ∈ D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
D’après la proposition 5.7 de [I], il existe une famille (δ M ) M ∈E( ˜
M,aM ) , avec δ M ∈
D
st
g´ eom (M
, O ˜
M ) ⊗ Mes(M
(R))
∗ pour tout M
, de sorte que
(1)
γ =
M ∈E( ˜
M,aM )
transfert(δ M ).
Fixons de tels objets. Soit f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)). La somme suivante est
bien définie
(2)
M ∈E( ˜
M,aM )
I
K ˜
G
K ˜
M
(M
, δ M , f ).
De même qu’en [II] 1.15, les propriétés indiquées dans le paragraphe précédent
impliquent que cette somme ne dépend pas de la décomposition (1) choisie. On
peut définir un terme I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) comme étant cette somme (2). Par linéarité, ce
terme est donc défini pour γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Ce terme a les mêmes propriétés relativement à l’induction que les intégrales
orbitales ω-équivariantes. C’est-à-dire que soit K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M .
Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans K ˜
R(R). Notons O
˜
M
l’unique classe de conjugaison stable dans K ˜
M (R) qui contient O. On suppose
que O
˜
M est ˜
G-équisingulière. Alors, pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ et