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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Soit K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈ΠM ∈ L(K ˜
M 0 ). Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (KM, K ˜
M, a M ). Soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R). Pour chaque composante connexe ˜
M p de
K ˜
M , avec p ∈ Π M , il correspond à O
une classe de conjugaison O p,C par M p (C)
dans ˜
M p (C). Si l’on remplace p par q, O p,C est l’image par ˜
φ p,q de O q,C . Ainsi
la condition M p,γ = G p,γ pour tout γ ∈ O p,C est indépendante de p ∈ Π M . Si
elle est vérifiée, on dit que O
est ˜
G-équisingulière. On définit alors comme plus
haut l’espace D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
). Soient δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et
f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). On pose
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
Les termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) que l’on a ainsi définis vérifient les mêmes propriétés que dans le cas d’un corps de base non-archimédien. Ils sont invariants par
le groupe d’automorphismes Aut(K ˜
M , M
), au sens précisé en [II] 1.13. Ecrivons
complètement ce que devient la proposition 1.14 de [II].
(a) Soit R
un groupe de Levi de M
qui est relevant. On peut lui associer un
K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M et une donnée endocopique
elliptique et relevante R
de (KR, K ˜
R, a R ). Soit O
une classe de conjugaison
stable semi-simple dans ˜
R
(R). On note O
˜
M
l’unique classe de conjugaison stable
dans ˜
M
(R) qui contient O
. On suppose que O
˜
M
est ˜
G-équisingulière. Pour
δ ∈ D
st
g´ eom (R
, O
) ⊗ Mes(R
(R))
∗ et f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on a alors
l’égalité
(1)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L,E
K ˜
R
(R
, δ, f ˜
L,ω ).
On a l’analogue du (i) du lemme 1.3 : l’hypothèse implique que O
est ˜
Léquisingulière pour tout K ˜
L intervenant dans la somme, ce qui donne un sens aux
termes de cette somme.
(b) Soit R
un groupe de Levi de M
qui n’est pas relevant. Soient O
et
O
˜
M
comme ci-dessus. On suppose encore que O
˜
M
est ˜
G-équisingulière. Fixons
des données supplémentaires M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
. On peut alors définir l’espace
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (R), O
st ) de distributions sur ˜
R
1 (R). Pour δ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (R), O
) ⊗
Mes(R
(R))
∗ et f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on a alors l’égalité
(2)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ
M
, f ) = 0.
Remarque. Dans la preuve de cette propriété, l’usage du lemme 2.1 de [16] fait
dans le cas non-archimédien doit être remplacé par celui du lemme 3.5 de [I].
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Soit K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈ΠM ∈ L(K ˜
M 0 ). Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (KM, K ˜
M, a M ). Soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R). Pour chaque composante connexe ˜
M p de
K ˜
M , avec p ∈ Π M , il correspond à O
une classe de conjugaison O p,C par M p (C)
dans ˜
M p (C). Si l’on remplace p par q, O p,C est l’image par ˜
φ p,q de O q,C . Ainsi
la condition M p,γ = G p,γ pour tout γ ∈ O p,C est indépendante de p ∈ Π M . Si
elle est vérifiée, on dit que O
est ˜
G-équisingulière. On définit alors comme plus
haut l’espace D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
). Soient δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et
f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). On pose
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
Les termes I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) que l’on a ainsi définis vérifient les mêmes propriétés que dans le cas d’un corps de base non-archimédien. Ils sont invariants par
le groupe d’automorphismes Aut(K ˜
M , M
), au sens précisé en [II] 1.13. Ecrivons
complètement ce que devient la proposition 1.14 de [II].
(a) Soit R
un groupe de Levi de M
qui est relevant. On peut lui associer un
K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M et une donnée endocopique
elliptique et relevante R
de (KR, K ˜
R, a R ). Soit O
une classe de conjugaison
stable semi-simple dans ˜
R
(R). On note O
˜
M
l’unique classe de conjugaison stable
dans ˜
M
(R) qui contient O
. On suppose que O
˜
M
est ˜
G-équisingulière. Pour
δ ∈ D
st
g´ eom (R
, O
) ⊗ Mes(R
(R))
∗ et f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on a alors
l’égalité
(1)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L,E
K ˜
R
(R
, δ, f ˜
L,ω ).
On a l’analogue du (i) du lemme 1.3 : l’hypothèse implique que O
est ˜
Léquisingulière pour tout K ˜
L intervenant dans la somme, ce qui donne un sens aux
termes de cette somme.
(b) Soit R
un groupe de Levi de M
qui n’est pas relevant. Soient O
et
O
˜
M
comme ci-dessus. On suppose encore que O
˜
M
est ˜
G-équisingulière. Fixons
des données supplémentaires M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
. On peut alors définir l’espace
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (R), O
st ) de distributions sur ˜
R
1 (R). Pour δ ∈ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (R), O
) ⊗
Mes(R
(R))
∗ et f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on a alors l’égalité
(2)
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ
M
, f ) = 0.
Remarque. Dans la preuve de cette propriété, l’usage du lemme 2.1 de [16] fait
dans le cas non-archimédien doit être remplacé par celui du lemme 3.5 de [I].