V.1. Intégrales orbitales pondérées
483
Proposition. On suppose que O
˜
M est ˜
G-équisingulière.
(i) Pour tout espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
R) tel que e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0, la classe O est
˜
L-équisingulière.
(ii) Pour δ ∈ D
st
g´ eom (O)⊗Mes(R(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ
˜
M , f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)S
˜
L
˜
R
(δ, f ˜
L ).
Le terme e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) est le même qu’en [II] 1.14. Le (i) est analogue à celui du
lemme 1.3. Le (ii) se prouve comme dans le cas non-archimédien, cf. [II] 1.14.
V.1.7 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G
et soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(M, ˜
M , a M ). Soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R).
On note D
st
g´ eom (M
, O
) le sous-espace des éléments de D
st
g´ eom (M
) dont le support
dans ˜
M
(R) est formé d’éléments dont la partie semi-simple appartient à O
. Il ne
correspond pas toujours à O
de classe de conjugaison stable dans ˜
M (R), mais il
lui correspond en tout cas une classe de conjugaison par M (C) dans ˜
M (C). Nous
dirons que O
est ˜
G-équisingulière si tout élément γ de cette classe dans ˜
M (C)
vérifie M γ = G γ . On note D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) la somme des D
st
g´ eom (M
, O
) sur les
classes de conjugaison stable semi-simples O
qui sont ˜
G-équisingulières.
Soient δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)).
Posons
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
On renvoie à [II] 1.12 pour les notations. Les propriétés formelles nécessaires à
la définition des termes ci-dessus ont été vues dans le paragraphe 1.4. Le point
à souligner est que l’hypothèse δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ entraîne
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G (˜ s) -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ pour tout ˜
s. En effet, soit δ un élément
semi-simple de ˜
M
(R). Fixons un élément γ ∈ ˜
M (C) dans la classe de conjugaison
géométrique correspondant à celle de δ. Soit enfin ˜
s comme ci-dessus. Alors il y a
une injection du système de racines du groupe G
(˜ s) δ dans celui du groupe G γ . Et
l’ensemble des racines de M
δ est celui des racines de G
(˜ s) δ qui, par cette injection,
deviennent des racines de M γ . L’égalité M γ = G γ entraîne donc M
δ = G
(˜ s) δ .
En notant O
la classe de conjugaison stable de δ, on obtient que, si O
est ˜
Géquisingulière, elle est aussi ˜
G
(˜ s)-équisingulière.
Au lieu d’un triplet (G, ˜
G, a), considérons maintenant un triplet (KG,K ˜
G,a),
où K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π est un K-espace, cf. [I] 1.11 dont on utilise les notations.
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Proposition. On suppose que O
˜
M est ˜
G-équisingulière.
(i) Pour tout espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
R) tel que e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0, la classe O est
˜
L-équisingulière.
(ii) Pour δ ∈ D
st
g´ eom (O)⊗Mes(R(R))
∗ et f ∈ I( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ
˜
M , f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)S
˜
L
˜
R
(δ, f ˜
L ).
Le terme e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) est le même qu’en [II] 1.14. Le (i) est analogue à celui du
lemme 1.3. Le (ii) se prouve comme dans le cas non-archimédien, cf. [II] 1.14.
V.1.7 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie
Revenons au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G
et soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
(M, ˜
M , a M ). Soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R).
On note D
st
g´ eom (M
, O
) le sous-espace des éléments de D
st
g´ eom (M
) dont le support
dans ˜
M
(R) est formé d’éléments dont la partie semi-simple appartient à O
. Il ne
correspond pas toujours à O
de classe de conjugaison stable dans ˜
M (R), mais il
lui correspond en tout cas une classe de conjugaison par M (C) dans ˜
M (C). Nous
dirons que O
est ˜
G-équisingulière si tout élément γ de cette classe dans ˜
M (C)
vérifie M γ = G γ . On note D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) la somme des D
st
g´ eom (M
, O
) sur les
classes de conjugaison stable semi-simples O
qui sont ˜
G-équisingulières.
Soient δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)).
Posons
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, f
G
(˜ s) ).
On renvoie à [II] 1.12 pour les notations. Les propriétés formelles nécessaires à
la définition des termes ci-dessus ont été vues dans le paragraphe 1.4. Le point
à souligner est que l’hypothèse δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ entraîne
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G (˜ s) -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ pour tout ˜
s. En effet, soit δ un élément
semi-simple de ˜
M
(R). Fixons un élément γ ∈ ˜
M (C) dans la classe de conjugaison
géométrique correspondant à celle de δ. Soit enfin ˜
s comme ci-dessus. Alors il y a
une injection du système de racines du groupe G
(˜ s) δ dans celui du groupe G γ . Et
l’ensemble des racines de M
δ est celui des racines de G
(˜ s) δ qui, par cette injection,
deviennent des racines de M γ . L’égalité M γ = G γ entraîne donc M
δ = G
(˜ s) δ .
En notant O
la classe de conjugaison stable de δ, on obtient que, si O
est ˜
Géquisingulière, elle est aussi ˜
G
(˜ s)-équisingulière.
Au lieu d’un triplet (G, ˜
G, a), considérons maintenant un triplet (KG,K ˜
G,a),
où K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π est un K-espace, cf. [I] 1.11 dont on utilise les notations.