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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
(9) pour f
comme ci-dessus et pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (M, O) (avec une définition
naturelle de cet espace), on a l’égalité
S
G
(s)
M
(δ, f) = S
M (δ, f
).
Venons-en à la preuve de (2) et (3). En fait, on peut identifier SI(M) et
SI( ˜
M (R)) ainsi que D
st
g´ eom (M, O) et D
st
g´ eom (O). Pour s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec
s 횿 = 1, on applique les relations ci-dessus à la fonction f
G
(s) , on en déduit une
fonction f
s ∈ SI( ˜
M (R)). En appliquant [II] 1.7(4) au terme I
˜
G
˜
M
(δ, f), on a une
fonction f
0 ∈ I( ˜
M (R)) qui vérifie des propriétés analogues. En fait, puisqu’on ne
lui applique ici que des distributions δ qui sont stables, on peut remplacer f
0 par
son image dans SI( ˜
M (R)). On pose
f
= f
0 −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))f
s .
Cette fonction vérifie (2) et (3).
V.1.5 Preuve du théorème 1.4
On considère d’abord un élément δ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ dont le support
est formé d’éléments fortement réguliers dans ˜
G. S’il n’y a pas de torsion du tout,
c’est-à-dire si ˜
G = G, la stabilité de la distribution f → S
˜
G
˜
M
(δ, f ) a été prouvée par
Arthur ([22] theorem 1.1(b)) . Dans la section 2 de [III], on a effectué une construction qui ramène le cas à torsion intérieure au cas sans torsion. Dans les derniers
paragraphes de cette section, on avait supposé le corps de base non-archimédien.
Comme on l’avait dit alors, ce n’était que parce que certains objets n’avaient été
définis que dans ce cas. Maintenant que ces objets (à savoir l’application φ ˜
M et
les intégrales orbitales pondérées stables) ont été définis aussi dans le cas F = R,
les résultats de [III] 2 sont valables dans ce cas. En particulier la proposition [III]
2.8, qui affirme que, pour (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et pour
δ comme ci-dessus, la distribution f → S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est stable. Passons au cas d’un
élément δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
dont l’image dans SI( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) est nulle. On introduit une fonction f
vérifiant 1.4(2) et (3). Le résultat de stabilité que l’on vient de prouver et la relation 1.4(2) entraînent que les intégrales orbitales stables assez régulières de f
sont nulles au voisinage du support de δ. La relation 1.4(3) entraîne alors que
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = 0. Cela prouve le théorème.
V.1.6 Une formule d’induction
Le triplet (G, ˜
G, a) est encore quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient ˜
R ⊂ ˜
M
deux espaces de Levi. Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans
˜
R(R), notons O
˜
M l’unique classe de conjugaison stable dans ˜
M (R) qui contient O.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
(9) pour f
comme ci-dessus et pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (M, O) (avec une définition
naturelle de cet espace), on a l’égalité
S
G
(s)
M
(δ, f) = S
M (δ, f
).
Venons-en à la preuve de (2) et (3). En fait, on peut identifier SI(M) et
SI( ˜
M (R)) ainsi que D
st
g´ eom (M, O) et D
st
g´ eom (O). Pour s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec
s 횿 = 1, on applique les relations ci-dessus à la fonction f
G
(s) , on en déduit une
fonction f
s ∈ SI( ˜
M (R)). En appliquant [II] 1.7(4) au terme I
˜
G
˜
M
(δ, f), on a une
fonction f
0 ∈ I( ˜
M (R)) qui vérifie des propriétés analogues. En fait, puisqu’on ne
lui applique ici que des distributions δ qui sont stables, on peut remplacer f
0 par
son image dans SI( ˜
M (R)). On pose
f
= f
0 −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))f
s .
Cette fonction vérifie (2) et (3).
V.1.5 Preuve du théorème 1.4
On considère d’abord un élément δ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ dont le support
est formé d’éléments fortement réguliers dans ˜
G. S’il n’y a pas de torsion du tout,
c’est-à-dire si ˜
G = G, la stabilité de la distribution f → S
˜
G
˜
M
(δ, f ) a été prouvée par
Arthur ([22] theorem 1.1(b)) . Dans la section 2 de [III], on a effectué une construction qui ramène le cas à torsion intérieure au cas sans torsion. Dans les derniers
paragraphes de cette section, on avait supposé le corps de base non-archimédien.
Comme on l’avait dit alors, ce n’était que parce que certains objets n’avaient été
définis que dans ce cas. Maintenant que ces objets (à savoir l’application φ ˜
M et
les intégrales orbitales pondérées stables) ont été définis aussi dans le cas F = R,
les résultats de [III] 2 sont valables dans ce cas. En particulier la proposition [III]
2.8, qui affirme que, pour (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et pour
δ comme ci-dessus, la distribution f → S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est stable. Passons au cas d’un
élément δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
dont l’image dans SI( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) est nulle. On introduit une fonction f
vérifiant 1.4(2) et (3). Le résultat de stabilité que l’on vient de prouver et la relation 1.4(2) entraînent que les intégrales orbitales stables assez régulières de f
sont nulles au voisinage du support de δ. La relation 1.4(3) entraîne alors que
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = 0. Cela prouve le théorème.
V.1.6 Une formule d’induction
Le triplet (G, ˜
G, a) est encore quasi-déployé et à torsion intérieure. Soient ˜
R ⊂ ˜
M
deux espaces de Levi. Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans
˜
R(R), notons O
˜
M l’unique classe de conjugaison stable dans ˜
M (R) qui contient O.