V.1. Intégrales orbitales pondérées
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support est une classe de conjugaison stable d’éléments ˜
G -réguliers se projetant
dans un voisinage assez petit de O. On peut choisir c ∈ C (R) tel que le support
de ˙
τ
c soit contenu dans un petit voisinage de O . On peut modifier c de sorte que
ce support soit aussi contenu dans l’ensemble {sxδ ; s ∈ S(R), x ∈ M ,der (R)}. On
a alors
S
˜
M ( ˙
τ , f
) = S
˜
M ( ˙
τ
c , (f
)
c ) = λ (c)
−1 S
˜
M ( ˙
τ
c , f
).
D’après la propriété du support de ˙
τ
c , on a
S
˜
M ( ˙
τ
c , f
) = S
˜
M ( ˙
τ
c , f
) = S
˜
G
˜
M
( ˙
τ
c , f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
τ , f
c
−1 ) = λ (c)S
˜
G
˜
M
( ˙
τ , f).
Cette suite d’égalités montre que f satisfait les conditions de (6).
Dans la situation de (4), appliquons (3) à l’espace ˜
G , à la fonction f et à la
fonction f
fournie par (6) (on peut les multiplier par une fonction b ◦ H ˜
G
comme
ci-dessus pour les remplacer par des fonctions à support compact). On obtient
l’égalité
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, f) = S
˜
M ( ˙
δ, f
).
Par définition, ce dernier terme n’est autre que S
˜
M
λ
(δ, f
). Il ne dépend pas du
choix de ˙
δ donc le membre de gauche ci-dessus non plus. Cela prouve (4).
Dans la situation de (5), on construit de même des fonctions f
et f
. La
relation qui les définit et le fait que (5) soit vérifié pour des éléments à support
régulier implique que ces deux fonctions se correspondent par l’isomorphisme
SI λ ( ˜
M (R)) SI λ ( ˜
M (R)).
Puisque δ et δ se correspondent, cela entraîne
S
˜
M
λ
(δ , f
) = S
˜
M
λ
(δ , f
).
Mais on vient de voir que
S
G
˜
M
(δ , f ) = S
˜
M
λ
(δ , f
) et S
G
˜
M
(δ , f ) = S
˜
M
λ
(δ , f
).
L’égalité (5) en résulte.
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R avec s = 1. La démonstration ci-dessus, en particulier le fait que les fonctions f
et f
se correspondent, entraîne que les assertions
(2) et (3) se généralisent sous la forme suivante. On fixe cette fois f ∈ I(G
(s)).
(8) Il existe une fonction f
∈ SI(M) et un voisinage de O dans ˜
M (R) tels que,
pour tout τ ∈ D
st
orb (M) dont le support est formé d’éléments ˜
G-réguliers
dans ce voisinage, on a l’égalité
S
G
(s)
M
(τ , f) = S
M (τ , f
);