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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
(6) il existe f
∈ C
∞
c,λ
( ˜
M (R)) et un voisinage Ω de O dans ˜
M (R) tels que, pour
tout ˙
τ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) dont le support est formé d’éléments ˜
G -réguliers se
projetant dans Ω, on ait l’égalité
S
˜
G
˜
M
( ˙
τ , f) = S
˜
M ( ˙
τ , f
).
Introduisons le groupe dérivé M ,der . On peut introduire un sous-tore S de
Z(M )
0 de sorte que c ⊕ s = z M . L’application produit
(7)
C (R) × S(R) × M ,der (R) → M (R)
est un homomorphisme de noyau fini et d’image un sous-groupe ouvert de M (R).
Notons Δ le noyau et Σ sa projection dans C (R). Le groupe Σ contient le groupe Σ
des c ∈ C (R) tels que cO = O . D’après (2), on peut trouver f
∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) de
sorte que, pour ˙
τ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) dont le support est formé d’éléments ˜
G -réguliers
dans un voisinage de O , on ait l’égalité
S
˜
G
˜
M
( ˙
τ , f) = S
˜
M ( ˙
τ , f
).
On peut modifier f
de sorte qu’elle soit nulle au voisinage de cO pour c ∈
Σ − Σ
. Le groupe C (R) agit sur les espaces de fonctions sur ˜
G (R) ou ˜
M (R) par
(ϕ, c) → ϕ
c , où ϕ
c (γ) = ϕ(cγ). Il agit par dualité sur les espaces de distributions.
Soit c ∈ Σ et ˙
τ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) dont le support est formé d’éléments ˜
G -réguliers
dans un voisinage de O . On a l’égalité
S
˜
M ( ˙
τ , (f
)
c ) = S
˜
M ( ˙
τ
c
−1
, f
).
Si c ∈ Σ
, c’est nul . Si c ∈ Σ
, c’est
S
˜
G
˜
M
( ˙
τ
c
−1
, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
τ , f
c ) = λ (c)
−1 S
˜
G
˜
M
( ˙
τ , f),
la deuxième égalité ci-dessus se vérifiant comme en [II] 1.10. On peut donc aussi
bien remplacer f
par
|Σ
|
−1
c∈Σ
λ (c)(f
)
c .
Fixons δ ∈ O . Définissons une fonction f
sur ˜
M (R) de la façon suivante. Sur un
élément mδ où m ∈ M (R) n’appartient pas à l’image de (7), on pose f
(mδ ) = 0.
Pour
(c, s, x) ∈ C (R) × S(R) × M ,der (R)
On pose
f
(csxδ ) = λ (c)
−1 f
(sxδ ).
La définition est loisible : le membre de droite ne dépend que du produit csx. La
fonction ainsi définie appartient à C
∞
c,λ
( ˜
M (R)). Soit ˙
τ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) dont le