V.1. Intégrales orbitales pondérées
479
Fixons une image réciproque ˙
δ ∈ D
st
g´ eom (O ) de δ. Il est facile de voir que la forme
linéaire ϕ → S
G
˜
M
( ˙
δ, ϕ) sur I( ˜
G (R)) s’étend en une forme linéaire sur I ac ( ˜
G (R))
par la formule
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, ϕ) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, ϕ(b ◦ H ˜
G
)),
où b ∈ C
∞
c (A ˜
G
) vaut 1 dans un voisinage de l’image par H ˜
G
de O (cf. [II]
1.10(2)). La fonction f appartient à I ac ( ˜
G (R)). On peut donc définir S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, f).
On doit prouver
(4) S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, f) ne dépend pas des choix de O et du relèvement ˙
δ.
Ainsi, on peut noter ce terme S
˜
G
˜
M ,λ
(δ, f).
Considérons maintenant un autre couple d’extensions
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
ainsi qu’un caractère λ de C (R) vérifiant les mêmes hypothèses que ci-dessus. On
note G ,, , resp. ˜
G ,, , les produits fibrés de G et G au-dessus de G, resp. de ˜
G
et ˜
G au-dessus de ˜
G. Considérons un caractère λ ,, de G ,, (R) dont la restriction
à C (R) × C (R) soit λ
−1
× λ . Considérons une fonction ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (R) qui se
transforme selon le caractère λ ,, (cf. [I] 2.6(i)). On déduit de ces données des
isomorphismes
C
∞
c,λ ( ˜
G (R)) C
∞
c,λ
( ˜
G (R))
et
D
st
g´ eom,λ ( ˜
M (R), O) D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (R), O)
cf. [II] 1.10. Pour f et f , resp. δ et δ , se correspondant par ces isomorphismes,
on doit prouver que
(5)
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , f ) = S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , f ).
En [II] 1.10, on a vérifié les propriétés (4) et (5) lorsque le corps de base était
non-archimédien. On a vu que, grâce à elles, on définissait aisément les termes
S
G
(s)
M (δ, f
G
(s) ) qui interviennent dans la formule (1). Les preuves de cette référence restent correctes sur le corps de base R, pourvu qu’on se limite à considérer
de véritables intégrales orbitales. On ne les refait pas dans ce cas et on tient pour
acquis que (4) et (5) sont vérifiées si les éléments ˙
δ, δ et δ sont des intégrales orbitales stables. On va en déduire que ces relations sont vérifiées pour des éléments
généraux.
Dans la situation de (4), on commence par montrer
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Fixons une image réciproque ˙
δ ∈ D
st
g´ eom (O ) de δ. Il est facile de voir que la forme
linéaire ϕ → S
G
˜
M
( ˙
δ, ϕ) sur I( ˜
G (R)) s’étend en une forme linéaire sur I ac ( ˜
G (R))
par la formule
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, ϕ) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, ϕ(b ◦ H ˜
G
)),
où b ∈ C
∞
c (A ˜
G
) vaut 1 dans un voisinage de l’image par H ˜
G
de O (cf. [II]
1.10(2)). La fonction f appartient à I ac ( ˜
G (R)). On peut donc définir S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, f).
On doit prouver
(4) S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, f) ne dépend pas des choix de O et du relèvement ˙
δ.
Ainsi, on peut noter ce terme S
˜
G
˜
M ,λ
(δ, f).
Considérons maintenant un autre couple d’extensions
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
ainsi qu’un caractère λ de C (R) vérifiant les mêmes hypothèses que ci-dessus. On
note G ,, , resp. ˜
G ,, , les produits fibrés de G et G au-dessus de G, resp. de ˜
G
et ˜
G au-dessus de ˜
G. Considérons un caractère λ ,, de G ,, (R) dont la restriction
à C (R) × C (R) soit λ
−1
× λ . Considérons une fonction ˜
λ ,, sur ˜
G ,, (R) qui se
transforme selon le caractère λ ,, (cf. [I] 2.6(i)). On déduit de ces données des
isomorphismes
C
∞
c,λ ( ˜
G (R)) C
∞
c,λ
( ˜
G (R))
et
D
st
g´ eom,λ ( ˜
M (R), O) D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (R), O)
cf. [II] 1.10. Pour f et f , resp. δ et δ , se correspondant par ces isomorphismes,
on doit prouver que
(5)
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , f ) = S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , f ).
En [II] 1.10, on a vérifié les propriétés (4) et (5) lorsque le corps de base était
non-archimédien. On a vu que, grâce à elles, on définissait aisément les termes
S
G
(s)
M (δ, f
G
(s) ) qui interviennent dans la formule (1). Les preuves de cette référence restent correctes sur le corps de base R, pourvu qu’on se limite à considérer
de véritables intégrales orbitales. On ne les refait pas dans ce cas et on tient pour
acquis que (4) et (5) sont vérifiées si les éléments ˙
δ, δ et δ sont des intégrales orbitales stables. On va en déduire que ces relations sont vérifiées pour des éléments
généraux.
Dans la situation de (4), on commence par montrer