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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R . Le groupe G
(s) n’est pas en général un sousgroupe de G, mais son système de racines est un sous-système de celui de G.
Il en résulte aisément que, pour γ ∈ ˜
M (R), le système de racines de G
(s) γ est
un sous-système de celui de G γ . L’égalité G γ = M γ force G
(s) γ = M γ . Cela
entraîne que δ appartient à D
st
g´ eom, ˜
G(s) -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Pour s = 1,
la dimension de G
(s) SC est strictement inférieure à celle de G. En raisonnant
comme toujours par récurrence sur cette dimension, on peut supposer définies
les intégrales orbitales pondérées invariantes stables pour l’espace ˜
G
(s). Pour
définir le terme S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ), on a encore besoin, d’une part, de propriétés qui
permettent d’étendre les définitions au cadre formel que l’on a introduit en [I]
pour les données endoscopiques. On reviendra ci-dessous sur ces propriétés. On a
besoin d’autre part de supposer connu par récurrence le théorème ci-dessous.
Théorème. Pour δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , la distribution f →
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est stable.
Ce théorème sera prouvé dans le paragraphe suivant.
Abandonnons pour simplifier les espaces de mesures de Haar. Soit O une
classe de conjugaison stable semi-simple et ˜
G-équisingulière dans ˜
M (R). Soit
f ∈ I( ˜
G(R)). Notons D
st
orb ( ˜
M (R)) l’espace des combinaisons linéaires stables d’intégrales orbitales sur ˜
M (R). On montrera plus loin que
(2) il existe une fonction f
∈ SI( ˜
M (R)) et un voisinage de O dans ˜
M (R) tels
que, pour tout τ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) dont le support est formé d’éléments ˜
Gréguliers dans ce voisinage, on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(τ , f) = S
˜
M (τ , f
);
(3) pour f
comme ci-dessus et pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (O), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, f) = S
˜
M (δ, f
).
Commençons à expliquer les propriétés formelles requises. Puisqu’on va les
appliquer par récurrence, il est légitime de supposer connues toutes les propriétés
nécessaires des intégrales pondérées invariantes stables telles qu’on les a définies
ci-dessus. Considérons des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est à torsion intérieure. Considérons un
caractère λ de C (R). On note ˜
M l’image réciproque de ˜
M dans ˜
G . Soit O une
classe de conjugaison stable semi-simple et ˜
G-équisingulière dans ˜
M (R). Fixons
une classe de conjugaison stable O dans ˜
M (R) qui se projette sur O. Soient
δ ∈ D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (R), O) et f ∈ I λ ( ˜
G (R)). Comme on l’a dit en [I] 5.6, il y a une
application linéaire surjective
D
st
g´ eom (O ) → D
st
g´ eom,λ ( ˜
M (R), O).
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R . Le groupe G
(s) n’est pas en général un sousgroupe de G, mais son système de racines est un sous-système de celui de G.
Il en résulte aisément que, pour γ ∈ ˜
M (R), le système de racines de G
(s) γ est
un sous-système de celui de G γ . L’égalité G γ = M γ force G
(s) γ = M γ . Cela
entraîne que δ appartient à D
st
g´ eom, ˜
G(s) -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Pour s = 1,
la dimension de G
(s) SC est strictement inférieure à celle de G. En raisonnant
comme toujours par récurrence sur cette dimension, on peut supposer définies
les intégrales orbitales pondérées invariantes stables pour l’espace ˜
G
(s). Pour
définir le terme S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ), on a encore besoin, d’une part, de propriétés qui
permettent d’étendre les définitions au cadre formel que l’on a introduit en [I]
pour les données endoscopiques. On reviendra ci-dessous sur ces propriétés. On a
besoin d’autre part de supposer connu par récurrence le théorème ci-dessous.
Théorème. Pour δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , la distribution f →
S
˜
G
˜
M
(δ, f ) est stable.
Ce théorème sera prouvé dans le paragraphe suivant.
Abandonnons pour simplifier les espaces de mesures de Haar. Soit O une
classe de conjugaison stable semi-simple et ˜
G-équisingulière dans ˜
M (R). Soit
f ∈ I( ˜
G(R)). Notons D
st
orb ( ˜
M (R)) l’espace des combinaisons linéaires stables d’intégrales orbitales sur ˜
M (R). On montrera plus loin que
(2) il existe une fonction f
∈ SI( ˜
M (R)) et un voisinage de O dans ˜
M (R) tels
que, pour tout τ ∈ D
st
orb ( ˜
M (R)) dont le support est formé d’éléments ˜
Gréguliers dans ce voisinage, on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(τ , f) = S
˜
M (τ , f
);
(3) pour f
comme ci-dessus et pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (O), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, f) = S
˜
M (δ, f
).
Commençons à expliquer les propriétés formelles requises. Puisqu’on va les
appliquer par récurrence, il est légitime de supposer connues toutes les propriétés
nécessaires des intégrales pondérées invariantes stables telles qu’on les a définies
ci-dessus. Considérons des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est à torsion intérieure. Considérons un
caractère λ de C (R). On note ˜
M l’image réciproque de ˜
M dans ˜
G . Soit O une
classe de conjugaison stable semi-simple et ˜
G-équisingulière dans ˜
M (R). Fixons
une classe de conjugaison stable O dans ˜
M (R) qui se projette sur O. Soient
δ ∈ D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (R), O) et f ∈ I λ ( ˜
G (R)). Comme on l’a dit en [I] 5.6, il y a une
application linéaire surjective
D
st
g´ eom (O ) → D
st
g´ eom,λ ( ˜
M (R), O).