V.1. Intégrales orbitales pondérées
477
ou encore
I
˜
R (γ
, ω, g ˜
R,ω ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
R (γ
, ω, g[ ˜
L])
si γ
est assez proche de γ. Cela prouve (1).
Par définition
I
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , f) = I
˜
M (γ
˜
M , g).
Par définition de l’induction des distributions,
I
˜
M (γ
˜
M , g) = I
˜
R (γ, g ˜
R,ω ).
En appliquant (1), on obtient
I
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , f) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
R (γ, g[ ˜
L]).
Mais, pour tout ˜
L, on a par définition
I
˜
R (γ, g[ ˜
L]) = I
˜
L
˜
R
(γ, f ˜
L,ω )
et la formule précédente devient celle de l’énoncé.
V.1.4 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On suppose dans ce paragraphe (G, ˜
G, ω) quasi-déployé et à torsion intérieure.
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. Soit O une classe de conjugaison stable semisimple dans ˜
M (R). D’après la définition du paragraphe précédent, elle est ˜
Géquisingulière si toutes les classes de conjugaison par ˜
M (R) incluses dans O le
sont. Remarquons que, puisque la définition de cette notion est géométrique, dire
que toutes ces classes sont ˜
G-équisingulières équivaut à dire que l’une d’elles
l’est. On note D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) la somme des D
st
g´ eom (O), où O parcourt les
classes de conjugaison stable semi-simples ˜
G-équisingulières dans ˜
M (R). Pour
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et pour f ∈ I( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on
définit l’intégrale orbitale pondérée invariante stable par
(1) S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, f ) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, f
G
(s) ).
On renvoie à [II] 1.10 pour diverses notations. Expliquons cette formule. Puisque
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (R)) ⊂ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (R)),
le premier terme I
˜
G
˜
M
(δ, f ) a été défini au paragraphe précédent.