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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Lemme. Soit ˜
R un espace de Levi contenu dans ˜
M . Soit O une orbite semi-simple
dans ˜
R(R). Notons O
˜
M l’unique orbite pour l’action de ˜
M (R) qui contient O. On
suppose que O
˜
M est ˜
G-équisingulière.
(i) Pour tout ˜
L ∈ ˜
L( ˜
R) tel que d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0, l’orbite O est ˜
L-équisingulière.
(ii) Pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω)⊗Mes(R(R))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(R), ω)⊗Mes(G(R)),
on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L
˜
R
(γ, f ˜
L,ω ).
Remarque. L’assertion (i) donne un sens à la formule du (ii).
Preuve. L’assertion (i) est la remarque de [II] 2.11. Prouvons (ii). Oublions les
mesures de Haar pour simplifier et notons f plutôt que f . Fixons encore γ ∈ O.
Introduisons une fonction g ∈ I( ˜
M (R), ω) telle que, pour γ
∈ ˜
M (R) assez régulier
et assez voisin de γ, on ait
I
˜
G
˜
M
(γ
, ω, f) = I
˜
M (γ
, ω, g).
De même, pour tout ˜
L comme en (i), introduisons une fonction g[ ˜
L] ∈ I( ˜
R(R), ω)
telle que, pour γ
∈ ˜
R(R) assez régulier et assez voisin de γ, on ait
I
˜
L
˜
R
(γ
, ω, f ˜
L,ω ) = I
˜
R (γ
, ω, g[ ˜
L]).
On va montrer que
(1) les deux éléments g ˜
R,ω et
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)g[ ˜
L]
de I( ˜
R(R), ω) coïncident au voisinage de γ.
Pour γ
∈ ˜
R(R) assez régulier, on a par définition du terme constant
I
˜
R (γ
, ω, g ˜
R,ω ) = I
˜
M (γ
, ω, g),
autrement dit, si γ
est assez proche de γ,
I
˜
R (γ
, ω, g ˜
R,ω ) = I
˜
G
˜
M
(γ
, ω, f).
La formule de l’énoncé que l’on cherche à prouver est valable dans le cas où γ est
une simple intégrale orbitale. En l’appliquant à l’intégrale orbitale associée à γ
,
on obtient
I
˜
G
˜
M
(γ
, ω, f) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L
˜
R
(γ
, ω, f ˜
L,ω ),