V.1. Intégrales orbitales pondérées
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4.1 dans le cas non tordu). Etant continue, elle se factorise donc en une application
définie sur I ac ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) (cf. [I] 5.2).
Cette définition étant posée, les intégrales orbitales ω-équivariantes vérifient
les mêmes propriétés que dans le cas non-archimédien.
Variante. Supposons ˜
G = G et a = 1. Supposons fixée une fonction B comme
en [II] 1.8. On note D orb,unip (G(R)) le sous-espace des éléments de D orb (G(R)) à
support unipotent. Pour γ ∈ D orb,unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I(G(R)) ⊗
Mes(G(R)), on définit la variante I
G
M (γ, B, f ) comme en [II] 1.8.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Supposons fixé
un sytème de fonctions B comme en [II] 1.9. Pour γ ∈ D orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
et f ∈ I( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on définit la variante I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) comme en [II] 1.9.
Soit O une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
M (R). Rappelons que l’on
note D g´ eom (O, ω) le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) à support dans
l’ensemble des éléments de ˜
M (R) dont la partie semi-simple appartient à O. On
dit que que O est ˜
G-équisingulière si elle vérifie la condition M γ = G γ pour tout
γ ∈ O, cf. [II] 1.2(1). Plus généralement, une réunion finie de classes de conjugaison
semi-simples sera dite ˜
G-équisingulière si chacune de ces classes l’est.
Supposons que O soit ˜
G-équisingulière. Fixons γ ∈ O. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
On sait alors qu’il existe une fonction f
∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) et un voisinage de γ dans
˜
M (R) telle que, pour γ
dans ce voisinage, on ait l’égalité
I
˜
M (γ
, ω, f
) = I
˜
G
˜
M
(γ
, ω, f)
cf. [II] 1.7(4). Fixons un tel f
. Pour γ ∈ D g´ eom (O, ω), on peut définir I
˜
M (γ, f
).
La description que l’on a donnée en [I] 5.2 de l’espace D g´ eom (O, ω) montre que ce
terme ne dépend pas du choix de f
: c’est une combinaison linéaire de limites en
X = 0 de dérivées de fonctions X → I
˜
G
˜
M
(exp(X)γ, ω, f ) définies pour X ∈ t
θ (R)
tel que exp(X)γ soit fortement régulier, ˜
T étant un tore tordu maximal tel que
γ ∈ ˜
T (R). On peut donc poser
I
˜
G
˜
M
(γ, f) = I
˜
M (γ, f
).
Il est clair que, quand γ est une simple intégrale orbitale, cette définition coïncide
avec la définition initiale.
Notons D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (R), ω) le sous-espace de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) engendré
par les D g´ eom (O, ω) pour les orbites O qui sont ˜
G-équisingulières. En réintroduisant les espaces de mesures de Haar, ce qui précède permet de définir I
˜
G
˜
M
(γ, f )
pour γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
(ou f ∈ I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))). Dans les paragraphes suivants, on montrera
que les constructions du cas non-archimédien s’étendent à ces termes. Montrons
ici qu’ils se comportent de la façon attendue relativement à l’induction.
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4.1 dans le cas non tordu). Etant continue, elle se factorise donc en une application
définie sur I ac ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) (cf. [I] 5.2).
Cette définition étant posée, les intégrales orbitales ω-équivariantes vérifient
les mêmes propriétés que dans le cas non-archimédien.
Variante. Supposons ˜
G = G et a = 1. Supposons fixée une fonction B comme
en [II] 1.8. On note D orb,unip (G(R)) le sous-espace des éléments de D orb (G(R)) à
support unipotent. Pour γ ∈ D orb,unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ I(G(R)) ⊗
Mes(G(R)), on définit la variante I
G
M (γ, B, f ) comme en [II] 1.8.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Supposons fixé
un sytème de fonctions B comme en [II] 1.9. Pour γ ∈ D orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
et f ∈ I( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on définit la variante I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) comme en [II] 1.9.
Soit O une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
M (R). Rappelons que l’on
note D g´ eom (O, ω) le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) à support dans
l’ensemble des éléments de ˜
M (R) dont la partie semi-simple appartient à O. On
dit que que O est ˜
G-équisingulière si elle vérifie la condition M γ = G γ pour tout
γ ∈ O, cf. [II] 1.2(1). Plus généralement, une réunion finie de classes de conjugaison
semi-simples sera dite ˜
G-équisingulière si chacune de ces classes l’est.
Supposons que O soit ˜
G-équisingulière. Fixons γ ∈ O. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)).
On sait alors qu’il existe une fonction f
∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) et un voisinage de γ dans
˜
M (R) telle que, pour γ
dans ce voisinage, on ait l’égalité
I
˜
M (γ
, ω, f
) = I
˜
G
˜
M
(γ
, ω, f)
cf. [II] 1.7(4). Fixons un tel f
. Pour γ ∈ D g´ eom (O, ω), on peut définir I
˜
M (γ, f
).
La description que l’on a donnée en [I] 5.2 de l’espace D g´ eom (O, ω) montre que ce
terme ne dépend pas du choix de f
: c’est une combinaison linéaire de limites en
X = 0 de dérivées de fonctions X → I
˜
G
˜
M
(exp(X)γ, ω, f ) définies pour X ∈ t
θ (R)
tel que exp(X)γ soit fortement régulier, ˜
T étant un tore tordu maximal tel que
γ ∈ ˜
T (R). On peut donc poser
I
˜
G
˜
M
(γ, f) = I
˜
M (γ, f
).
Il est clair que, quand γ est une simple intégrale orbitale, cette définition coïncide
avec la définition initiale.
Notons D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (R), ω) le sous-espace de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) engendré
par les D g´ eom (O, ω) pour les orbites O qui sont ˜
G-équisingulières. En réintroduisant les espaces de mesures de Haar, ce qui précède permet de définir I
˜
G
˜
M
(γ, f )
pour γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
(ou f ∈ I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))). Dans les paragraphes suivants, on montrera
que les constructions du cas non-archimédien s’étendent à ces termes. Montrons
ici qu’ils se comportent de la façon attendue relativement à l’induction.