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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
V.1.3 Définition des intégrales orbitales pondérées
Dans la première section de [II], on a défini des intégrales orbitales pondérées
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). Le corps de base était alors non-archimédien. La définition reprenait évidemment celle d’Arthur, tout en la modifiant légèrement. La même chose
vaut sur le corps de base R : on définit ainsi J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) pour un espace de Levi
˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et un élément γ ∈ ˜
M (R). Plus canoniquement, notons D orb ( ˜
M (R), ω)
l’espace des distributions sur C
∞
c ( ˜
M (R)) engendré par les intégrales orbitales
relatives à des éléments γ ∈ ˜
M (R). Alors on peut définir J
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈
D orb ( ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)). La différence entre le
cas archimédien et le cas non-archimédien est que l’on a l’égalité D orb ( ˜
M (F ), ω) =
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) quand F est non-archimédien, tandis que l’on a seulement une
inclusion D orb ( ˜
M (R), ω) ⊂ D g´ eom ( ˜
M (R), ω). Rappelons (cf. [I] 5.2) que ce dernier
espace est celui des formes linéaires continues sur I( ˜
M (R), ω) qui, relevées en des
formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
M (R)), sont supportées par un nombre fini de classes
de conjugaison par M (R). Les constructions de [II] ne permettent pas de définir
J
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Quoi qu’il en soit, on va définir les avatars ω-équivariants I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour
γ ∈ D orb ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), et même pour
f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)). Les intégrales orbitales pondérées J
˜
G
˜
M
(γ, f ) s’étendent
à f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) : on a
J
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f (b ◦ H ˜
G ))
pour toute fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ) telle que b vaille 1 dans un voisinage de l’image
par H ˜
G du support de γ. Quand γ est une intégrale orbitale associée à un élément
γ ∈ ˜
M (R), Arthur démontre en [9] corollaire 6.2 que cette intégrale est donnée par
une mesure sur l’orbite de γ qui est absolument continue relativement à la mesure
de Haar. On en déduit aisément que
f → J
˜
G
˜
M
(γ, f )
est continue sur C
∞
ac ( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)). On définit une application linéaire continue sur C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), qui se factorise en une application linéaire continue sur I ac ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), par la formule de récurrence
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(γ, φ ˜
L (f )).
La continuité de cette application est assurée par ce que l’on vient de dire cidessus, par celle des applications analogues relatives à ˜
L = ˜
G que l’on suppose par
récurrence, et par la continuité de nos applications φ ˜
L . Une démonstration assez
formelle montre que l’application ainsi définie est ω-équivariante (cf. [2] proposition
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
V.1.3 Définition des intégrales orbitales pondérées
Dans la première section de [II], on a défini des intégrales orbitales pondérées
J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ). Le corps de base était alors non-archimédien. La définition reprenait évidemment celle d’Arthur, tout en la modifiant légèrement. La même chose
vaut sur le corps de base R : on définit ainsi J
˜
G
˜
M
(γ, ω, f ) pour un espace de Levi
˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et un élément γ ∈ ˜
M (R). Plus canoniquement, notons D orb ( ˜
M (R), ω)
l’espace des distributions sur C
∞
c ( ˜
M (R)) engendré par les intégrales orbitales
relatives à des éléments γ ∈ ˜
M (R). Alors on peut définir J
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈
D orb ( ˜
M (R), ω)⊗Mes(M (R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)). La différence entre le
cas archimédien et le cas non-archimédien est que l’on a l’égalité D orb ( ˜
M (F ), ω) =
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) quand F est non-archimédien, tandis que l’on a seulement une
inclusion D orb ( ˜
M (R), ω) ⊂ D g´ eom ( ˜
M (R), ω). Rappelons (cf. [I] 5.2) que ce dernier
espace est celui des formes linéaires continues sur I( ˜
M (R), ω) qui, relevées en des
formes linéaires sur C
∞
c ( ˜
M (R)), sont supportées par un nombre fini de classes
de conjugaison par M (R). Les constructions de [II] ne permettent pas de définir
J
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Quoi qu’il en soit, on va définir les avatars ω-équivariants I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour
γ ∈ D orb ( ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), et même pour
f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)). Les intégrales orbitales pondérées J
˜
G
˜
M
(γ, f ) s’étendent
à f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) : on a
J
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f (b ◦ H ˜
G ))
pour toute fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ) telle que b vaille 1 dans un voisinage de l’image
par H ˜
G du support de γ. Quand γ est une intégrale orbitale associée à un élément
γ ∈ ˜
M (R), Arthur démontre en [9] corollaire 6.2 que cette intégrale est donnée par
une mesure sur l’orbite de γ qui est absolument continue relativement à la mesure
de Haar. On en déduit aisément que
f → J
˜
G
˜
M
(γ, f )
est continue sur C
∞
ac ( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)). On définit une application linéaire continue sur C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), qui se factorise en une application linéaire continue sur I ac ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), par la formule de récurrence
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = J
˜
G
˜
M
(γ, f ) −
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
I
˜
L
˜
M
(γ, φ ˜
L (f )).
La continuité de cette application est assurée par ce que l’on vient de dire cidessus, par celle des applications analogues relatives à ˜
L = ˜
G que l’on suppose par
récurrence, et par la continuité de nos applications φ ˜
L . Une démonstration assez
formelle montre que l’application ainsi définie est ω-équivariante (cf. [2] proposition