V.1. Intégrales orbitales pondérées
473
Ces relations entraînent l’égalité φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M ) = φ ˜
M,b (f )(b ◦ H ˜
M ). La famille
(φ ˜
M ,b (f )) b∈C ∞
c (A ˜
M ) appartient donc à l’analogue P
˜
M de l’espace P pour ˜
M . Il en
résulte l’existence d’un unique élément φ ˜
M (f ) ∈ I ac ( ˜
M (R), ω) tel que φ ˜
M,b (f ) =
φ ˜
M (f )(b◦H ˜
M ) pour tout b. D’après la définition de la topologie sur I ac ( ˜
M (R), ω) et
parce que les applications (3) sont continues pour tout b, l’application f → φ ˜
M (f )
est continue. Enfin, soit ˜
π une ω-représentation tempérée et de longueur finie de
˜
M (R) et soit X ∈ A ˜
M . Choisissons une fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
M ) telle que b(X) = 1.
On a alors
I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f ))b(X) = I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )(b ◦ H ˜
M ))
= I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M,b (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f )b(X)
d’après (4), d’où, puisque b(X) = 1,
I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
Notre application φ ˜
M , définie sur C
∞ ( ˜
C), vérifie ainsi toutes les propriétés requises.
L’application φ ˜
M étant caractérisée par les égalités ci-dessus, il est clair que,
si ˜
C
est un sous-ensemble compact de ˜
G(R) contenant ˜
C, l’application φ ˜
M relative
à ˜
C est la restriction de celle relative à ˜
C
. Ces applications se recollent donc en une
application φ ˜
M : C
∞
c ( ˜
G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω). Celle-ci est continue par définition
de la topologie sur C
∞
c ( ˜
G(R)) et parce que les applications restreintes à C
∞ ( ˜
C)
le sont pour tout ˜
C.
Soit maintenant f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)). Soit b ∈ C
∞
c (A ˜
M ). Choisissons une fonction
b
˜
G
∈ C
∞
c (A ˜
G ) telle que b
˜
G vaille 1 sur la projection dans A ˜
G du support de b dans
A ˜
M . Définissons une fonction φ ˜
M,b (f ) ∈ I( ˜
M (R), ω) par
φ ˜
M,b (f ) = φ ˜
M (f (b
˜
G
◦ H ˜
G ))(b ◦ H ˜
M ).
De nouveau, des considérations formelles montrent que l’égalité (4) est satisfaite.
En particulier, cette définition ne dépend pas du choix de b
˜
G . L’application f →
φ ˜
M,b (f ) est continue car c’est la composée des trois applications continues
f → f (b
˜
G
◦ H ˜
G )
de C
∞
ac ( ˜
G(R)) dans C
∞
c ( ˜
G(R)),
f → φ ˜
M (f )
de C
∞
c ( ˜
G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω) et
f → f (b ◦ H ˜
M )
de I ac ( ˜
M (R), ω) dans I( ˜
M (R), ω). Le même calcul que ci-dessus montre que de
ces applications f → φ ˜
M,b (f ) se déduit une application continue f → φ ˜
M (f ) de
C
∞
ac ( ˜
G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω) qui vérifie les propriétés de l’énoncé.
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Ces relations entraînent l’égalité φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M ) = φ ˜
M,b (f )(b ◦ H ˜
M ). La famille
(φ ˜
M ,b (f )) b∈C ∞
c (A ˜
M ) appartient donc à l’analogue P
˜
M de l’espace P pour ˜
M . Il en
résulte l’existence d’un unique élément φ ˜
M (f ) ∈ I ac ( ˜
M (R), ω) tel que φ ˜
M,b (f ) =
φ ˜
M (f )(b◦H ˜
M ) pour tout b. D’après la définition de la topologie sur I ac ( ˜
M (R), ω) et
parce que les applications (3) sont continues pour tout b, l’application f → φ ˜
M (f )
est continue. Enfin, soit ˜
π une ω-représentation tempérée et de longueur finie de
˜
M (R) et soit X ∈ A ˜
M . Choisissons une fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
M ) telle que b(X) = 1.
On a alors
I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )) = I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f ))b(X) = I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )(b ◦ H ˜
M ))
= I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M,b (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f )b(X)
d’après (4), d’où, puisque b(X) = 1,
I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
Notre application φ ˜
M , définie sur C
∞ ( ˜
C), vérifie ainsi toutes les propriétés requises.
L’application φ ˜
M étant caractérisée par les égalités ci-dessus, il est clair que,
si ˜
C
est un sous-ensemble compact de ˜
G(R) contenant ˜
C, l’application φ ˜
M relative
à ˜
C est la restriction de celle relative à ˜
C
. Ces applications se recollent donc en une
application φ ˜
M : C
∞
c ( ˜
G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω). Celle-ci est continue par définition
de la topologie sur C
∞
c ( ˜
G(R)) et parce que les applications restreintes à C
∞ ( ˜
C)
le sont pour tout ˜
C.
Soit maintenant f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)). Soit b ∈ C
∞
c (A ˜
M ). Choisissons une fonction
b
˜
G
∈ C
∞
c (A ˜
G ) telle que b
˜
G vaille 1 sur la projection dans A ˜
G du support de b dans
A ˜
M . Définissons une fonction φ ˜
M,b (f ) ∈ I( ˜
M (R), ω) par
φ ˜
M,b (f ) = φ ˜
M (f (b
˜
G
◦ H ˜
G ))(b ◦ H ˜
M ).
De nouveau, des considérations formelles montrent que l’égalité (4) est satisfaite.
En particulier, cette définition ne dépend pas du choix de b
˜
G . L’application f →
φ ˜
M,b (f ) est continue car c’est la composée des trois applications continues
f → f (b
˜
G
◦ H ˜
G )
de C
∞
ac ( ˜
G(R)) dans C
∞
c ( ˜
G(R)),
f → φ ˜
M (f )
de C
∞
c ( ˜
G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω) et
f → f (b ◦ H ˜
M )
de I ac ( ˜
M (R), ω) dans I( ˜
M (R), ω). Le même calcul que ci-dessus montre que de
ces applications f → φ ˜
M,b (f ) se déduit une application continue f → φ ˜
M (f ) de
C
∞
ac ( ˜
G(R)) dans I ac ( ˜
M (R), ω) qui vérifie les propriétés de l’énoncé.