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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Fixons un ensemble de représentants E ell,0 ( ˜
L, ω) comme en [IV] 1.4 (on utilise
dans ce qui suit les notations de cette référence). Les propriétés (1) et (2) jointes au
lemme [IV] 1.3 montrent que, pour tout f ∈ C
∞ ( ˜
C), la famille (ϕ f,b,τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
L,ω)
appartient à P W
∞
ell ( ˜
L, ω). De plus, l’application qui, à f , associe cette famille, est
continue. En sommant ces applications sur tout ˜
L ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), on obtient une application continue de C
∞ ( ˜
C) dans P W
∞ ( ˜
M , ω) (la condition requise d’invariance
par W
M ( ˜
M 0 ) résulte de la construction). En composant avec l’homéomorphisme
pw
−1 : P W
∞ ( ˜
M , ω) → I( ˜
M (R), ω) du théorème 1.4 de [IV], on obtient une application continue
(3)
C
∞ ( ˜
C) → I( ˜
M (R), ω)
f
→
φ ˜
M ,b (f ).
Par construction, on a
ϕ f,b (˜ π) = I
˜
M (˜ π, φ ˜
M ,b (f ))
pour toute ω-représentation tempérée et de longueur finie ˜
π de ˜
M (R). Pour tout
Y ∈ A ˜
M , on a alors
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )) =
iA ∗
˜
M
I
˜
M (˜ π λ , φ ˜
M,b (f ))e
−−Y,λ dλ
=
iA ∗
˜
M
ϕ f,b (˜ π λ )e
−−Y,λ dλ
=
iA ∗
˜
M
A ˜
M
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , X, f)b(X) dX e
−−Y,λ dλ.
Or, par construction de J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ), on a l’égalité
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , X, f) = e
X,λ J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
Par inversion de Fourier, on obtient
(4)
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M ,b (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, Y, f )b(Y ).
Remarquons que ces relations déterminent entièrement φ ˜
M ,b (f ). Soit b
un autre
élément de C
∞
c (A ˜
M ). On sait que
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M )) = b
(Y )I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )).
D’où
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, Y, f )b(Y )b
(Y ).
Cette relation est symétrique en b et b
. D’où
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M )) = I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b ◦ H ˜
M )).
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Fixons un ensemble de représentants E ell,0 ( ˜
L, ω) comme en [IV] 1.4 (on utilise
dans ce qui suit les notations de cette référence). Les propriétés (1) et (2) jointes au
lemme [IV] 1.3 montrent que, pour tout f ∈ C
∞ ( ˜
C), la famille (ϕ f,b,τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
L,ω)
appartient à P W
∞
ell ( ˜
L, ω). De plus, l’application qui, à f , associe cette famille, est
continue. En sommant ces applications sur tout ˜
L ∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ), on obtient une application continue de C
∞ ( ˜
C) dans P W
∞ ( ˜
M , ω) (la condition requise d’invariance
par W
M ( ˜
M 0 ) résulte de la construction). En composant avec l’homéomorphisme
pw
−1 : P W
∞ ( ˜
M , ω) → I( ˜
M (R), ω) du théorème 1.4 de [IV], on obtient une application continue
(3)
C
∞ ( ˜
C) → I( ˜
M (R), ω)
f
→
φ ˜
M ,b (f ).
Par construction, on a
ϕ f,b (˜ π) = I
˜
M (˜ π, φ ˜
M ,b (f ))
pour toute ω-représentation tempérée et de longueur finie ˜
π de ˜
M (R). Pour tout
Y ∈ A ˜
M , on a alors
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )) =
iA ∗
˜
M
I
˜
M (˜ π λ , φ ˜
M,b (f ))e
−−Y,λ dλ
=
iA ∗
˜
M
ϕ f,b (˜ π λ )e
−−Y,λ dλ
=
iA ∗
˜
M
A ˜
M
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , X, f)b(X) dX e
−−Y,λ dλ.
Or, par construction de J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ), on a l’égalité
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , X, f) = e
X,λ J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
Par inversion de Fourier, on obtient
(4)
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M ,b (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, Y, f )b(Y ).
Remarquons que ces relations déterminent entièrement φ ˜
M ,b (f ). Soit b
un autre
élément de C
∞
c (A ˜
M ). On sait que
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M )) = b
(Y )I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )).
D’où
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, Y, f )b(Y )b
(Y ).
Cette relation est symétrique en b et b
. D’où
I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b
◦ H ˜
M )) = I
˜
M (˜ π, Y, φ ˜
M,b (f )(b ◦ H ˜
M )).