V.1. Intégrales orbitales pondérées
471
Notons que le r de (1) et la semi-norme α de (2) peuvent dépendre de b. On
a une formule de descente familière
J
˜
G
˜
M
(Ind
˜
M
˜
Q
((˜ π τ ) ν+λ ), f) =
˜
M ∈L( ˜
L)
d
˜
G
˜
L
( ˜
M , ˜
M
)J
˜
M
˜
L
((˜ π τ ) ν+λ , f ˜
P ,ω ),
où les ˜
P
sont des éléments de P( ˜
M
) déterminés par le choix d’un paramètre
auxiliaire. Pour tout ˜
M
, il existe un sous-ensemble compact ˜
C
de ˜
M
(R) tel que
l’application f → f ˜
P ,ω envoie continuement C
∞ ( ˜
C) dans C
∞ ( ˜
C
). On ne perd
rien à fixer ˜
M
, à définir une fonction φ f ,b,τ sur A
∗
˜
L,C
pour f
∈ C
∞ ( ˜
C
) par
φ f ,b,τ (ν) =
iA ∗
˜
M
J
˜
M
˜
L
((˜ π τ ) ν+λ , f
) ˆ b(−λ) dλ,
et à démontrer pour cette fonction des propriétés similaires à (1) et (2). On a
prouvé en [81] 6.4 que la fonction φ f ,b,τ s’écrivait sous la forme
φ f ,b,τ (ν) =
A ˜
L
Ψ(Y )e
ν,Y dY,
où Ψ est une fonction C
∞ sur A ˜
L dont le support est inclus dans un compact qui
ne dépend que de b et de ˜
C
. L’assertion (1) en résulte. On a prouvé en [81] 5.2 (en
copiant une fois de plus Arthur) que, pour tout N , il existait une semi-norme α
pour ˜
C
telle que, pour tout τ ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω) et tout ν ∈ iA
∗
˜
L
, on ait la majoration
|J
˜
M
˜
L
((˜ π τ ) ν , f
)| ≤ α(f
)(1 + |μ(τ )|)
−N (1 + |ν|)
−N .
Pour ν ∈ iA
∗
˜
L
et λ ∈ iA
∗
˜
M
, on a la majoration
|ν| ≤ |ν + λ| + |λ|,
d’où
1 + |ν| ≤ (1 + |ν + λ|)(1 + |λ|),
puis
(1 + |ν + λ|)
−N
≤ (1 + |ν|)
−N (1 + |λ|)
N .
La fonction ˆ b est de Schwartz, donc vérifie une majoration
| ˆ b(λ)| ≤ c(1 + |λ|)
−N −a ˜
M −1 .
Il résulte de ces majorations que l’on a l’inégalité
|φ f ,b,τ (ν)| ≤ cc
α(f
)(1 + |μ(τ )|)
−N (1 + |ν|)
−N ,
où
c
=
iA ∗
˜
M
(1 + |λ|)
−a ˜
M −1 dλ.
Cela démontre la majoration (2) cherchée.