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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Preuve. On reprend la démonstration donnée en [81] 6.4, en supprimant des conjugaisons complexes inopportunes. Fixons un sous-ensemble compact ˜
C de ˜
G(R) et
notons C
∞ ( ˜
C) le sous-espace des fonctions f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) telles que Supp(f ) ⊂ ˜
C.
Appelons semi-norme pour ˜
C toute fonction α : C
∞ ( ˜
C) → R ≥0 telle qu’il existe
un nombre fini d’opérateurs différentiels D 1 ,. . .,D m sur ˜
G(R) invariants par translations à gauche de sorte que, pour tout f ∈ C
∞ ( ˜
C), on ait l’égalité
α(f ) =
i=1,...,m
sup
γ∈ ˜
C
|(D i f )(γ)|.
On va commencer par établir l’existence d’une application linéaire
C
∞ ( ˜
C) → I ac ( ˜
M (R), ω)
f
→
φ ˜
M (f )
vérifiant les propriétés de l’énoncé. Soient f ∈ C
∞ ( ˜
C) et b ∈ C
∞
c (A ˜
M ). Pour une
ω-représentation tempérée et de longueur finie ˜
π de ˜
M (R), posons
ϕ f,b (˜ π) =
A ˜
M
J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f )b(X) dX.
Par inversion de Fourier, on a l’égalité
ϕ f,b (˜ π) =
iA ∗
˜
M
J
˜
G
˜
M
(˜ π λ , f) ˆ b(−λ) dλ,
où
ˆ b(λ) =
A ˜
M
b(X)e
X,λ dX.
Fixons ˜
Q = ˜
LU Q ∈ F
˜
M ( ˜
M 0 ). Pour tout τ ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω), on définit une fonction
ϕ f,b,τ sur A
∗
˜
L,C
par
ϕ f,b,τ (ν) = ϕ f,b (Ind
˜
M
˜
Q
(˜ π τ ν )).
On va prouver les propriétés suivantes
(1) il existe r > 0 indépendant de f et, pour tout N > 0 et tout τ ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω),
il existe C > 0 tel que, pour tout ν ∈ A
∗
˜
L,C
, on ait la majoration
|ϕ f,b,τ (ν)| ≤ C(1 + |ν|)
−N e
r| Re(ν)| ;
(2) pour tout N > 0, il existe une semi-norme α pour ˜
C de sorte que, pour tout
τ ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω) et tout ν ∈ iA
∗
˜
L
, on ait la majoration
|ϕ f,b,τ (ν)| ≤ α(f )(1 + |μ(τ )| + |ν|)
−N ,
où μ(τ ) est le paramètre infinitésimal de τ .