V.1. Intégrales orbitales pondérées
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produit. Notons P le sous-espace de P formé des familles (φ b ) b∈C ∞
c (A ˜
G ) telles que,
pour tous b, b
∈ C
∞
c (A ˜
G ), on ait l’égalité
φ b (b
◦ H ˜
G ) = φ b (b ◦ H ˜
G ).
On vérifie que c’est un sous-espace fermé de P et on le munit de la topologie
induite. On a une application linéaire
C
∞
ac ( ˜
G(R)) →
P
f
→ (f (b ◦ H ˜
G )) b∈C ∞
c (A ˜
G ) .
On vérifie qu’elle est injective et que son image est P . On munit C
∞
ac ( ˜
G(R)) de la
topologie pour laquelle cette application devient un homéomorphisme de cet espace
sur P . Concrètement, un voisinage de 0 dans C
∞
ac ( ˜
G(R)) est un sous-ensemble U
pour lequel il existe un nombre fini d’éléments b 1 , . . . , b n ∈ C
∞
c (A ˜
G ) et, pour tout
i, un voisinage U i de 0 dans C
∞
c ( ˜
G(R)) de sorte que U contienne les f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R))
tels que, pour tout i, f (b i ◦ H ˜
G ) appartienne à U i .
On vérifie que, pour tout γ ∈ ˜
G(R), l’intégrale orbitale f → I
˜
G (γ, ω, f )
se prolonge en une forme linéaire continue sur C
∞
ac ( ˜
G(R)). De même, pour un
espace de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), pour une ω-représentation tempérée ˜
π de ˜
M (R) (de
longueur finie) et pour X ∈ A ˜
M , l’application f → J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ) définie en [81] 6.4
se prolonge en une forme linéaire continue sur C
∞
ac ( ˜
G(R)).
Modifiant la définition que l’on avait donnée en [81] 6.4, on note I ac ( ˜
G(R), ω)
le quotient de C
∞
ac ( ˜
G(R)) par le sous-espace des f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)) telles que
I
˜
G (γ, ω, f ) = 0 pour tout γ fortement régulier. On voit que ce sous-espace est
fermé et on munit le quotient de la topologie quotient. On peut définir des espaces
IP et IP en remplaçant dans les définitions de P et P les espaces C
∞
c ( ˜
G(R))
par I( ˜
G(R), ω). On vérifie qu’une application analogue à celle construite ci-dessus
identifie homéomorphiquement I ac ( ˜
G(R), ω) à IP . Remarquons que, pour toute
ω-représentation de longueur finie ˜
π de ˜
G(R) et pour tout X ∈ A ˜
G , la forme linéaire f → I
˜
G (˜ π, X, f ) sur C
∞
ac ( ˜
G(R)) se factorise en une forme linéaire continue
sur I ac ( ˜
G(R), ω). Cela résulte de la locale intégrabilité des caractères.
Proposition. Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). Il existe une unique application linéaire continue
C
∞
ac ( ˜
G(R)) → I ac ( ˜
M (R), ω)
f
→
φ ˜
M (f )
telle que, pour tout f ∈ C
∞
ac ( ˜
G(R)), pour toute ω-représentation tempérée et de
longueur finie ˜
π de ˜
M (R) et pour tout X ∈ A ˜
M , on ait l’égalité
I
˜
M (˜ π, X, φ ˜
M (f )) = J
˜
G
˜
M
(˜ π, X, f ).
Remarque. Comme toujours, il est plus canonique de voir l’application φ ˜
M comme
une application linéaire de C
∞
ac ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)) dans I ac ( ˜
M (R) ⊗ Mes(M (R)).