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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
relativement à M p,0 . On définit le K-espace de Levi minimal K ˜
M 0 de K ˜
G et
l’ensemble L(K ˜
M 0 ) comme en [I] 3.5. On notera symboliquement K = (K p ) p∈Π .
D’une façon générale, on simplifie la notation en supprimant la lettre K de K ˜
G ou
les indices p quand c’est possible. Par exemple on pose dim(G) = dim(G p ) pour
n’importe quel p et on note ω le caractère de G p (R) déduit de a. Dans les deux
cas (triplet ou K-triplet), on suppose que ω est unitaire.
On raisonne par récurrence sur dim(G SC ). Pour démontrer une assertion
concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose
connues toutes les assertions concernant des triplets quasi-déployés et à torsion
intérieure (G
, ˜
G
, a
) tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) qui n’est pas quasi-déployé et à torsion
intérieure, on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets quasidéployés et à torsion intérieure (G
, ˜
G
, a
) tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ), ainsi
que toutes les assertions concernant un triplet (G
, ˜
G
, a
) quelconque tel que
dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si une assertion concerne un espace de Levi ˜
M de ˜
G,
on suppose connues toutes les assertions concernant le même triplet (G, ˜
G, a)
et un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
M . Pour démontrer une assertion concernant un K-triplet (KG, K ˜
G, a), on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets quasi-déployés et à torsion intérieure (G
, ˜
G
, a
) tels
que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et toutes les assertions concernant des K-triplets
(KG
, K ˜
G
, a) tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ) (c’est-à-dire que, pour nous, la
notion de K-triplet quasi-déployé et à torsion intérieure n’existe pas). Si une assertion concerne un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ), on suppose connues toutes
les assertions concernant le même triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi
K ˜
L ∈ L(K ˜
M ) tel que K ˜
L = K ˜
M .
V.1.2 L’application φ ˜
M
Jusqu’en 1.7, on considère un triplet (G, ˜
G, a). Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). En [81] 6.4, on a
défini, en suivant Arthur, une application φ ˜
M qui, dans le cas qui nous occupe où
le corps de base est R, n’était définie que sur l’espace C
∞
c ( ˜
G(R), K) des fonctions
K-finies. Cela parce que l’on utilisait le théorème de Paley–Wiener de DelormeMezo, qui s’applique à ces fonctions. En utilisant le théorème de Renard, cf. [IV]
1.4, on va étendre cette application à tout C
∞
c ( ˜
G(R)). Pour simplifier, on fixe des
mesures de Haar sur tous les groupes qui apparaissent.
Notons C
∞
ac ( ˜
G(R)) l’espace des fonctions f : ˜
G(R) → C telles que, pour toute
fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ), la fonction f (b ◦ H ˜
G ) : γ → b(H ˜
G (γ))f (γ) appartienne à
C
∞
c ( ˜
G(R)). Considérons l’immense produit
P = C
∞
c ( ˜
G(R))
C
∞
c (A ˜
G ) .
Ses éléments sont les familles (φ b ) b∈C ∞
c (A ˜
G ) , où φ b ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) pour tout b.
L’espace C
∞
c ( ˜
G(R)) étant muni de la topologie usuelle, on munit P de la topologie
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
relativement à M p,0 . On définit le K-espace de Levi minimal K ˜
M 0 de K ˜
G et
l’ensemble L(K ˜
M 0 ) comme en [I] 3.5. On notera symboliquement K = (K p ) p∈Π .
D’une façon générale, on simplifie la notation en supprimant la lettre K de K ˜
G ou
les indices p quand c’est possible. Par exemple on pose dim(G) = dim(G p ) pour
n’importe quel p et on note ω le caractère de G p (R) déduit de a. Dans les deux
cas (triplet ou K-triplet), on suppose que ω est unitaire.
On raisonne par récurrence sur dim(G SC ). Pour démontrer une assertion
concernant un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, on suppose
connues toutes les assertions concernant des triplets quasi-déployés et à torsion
intérieure (G
, ˜
G
, a
) tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Pour démontrer une assertion concernant un triplet (G, ˜
G, a) qui n’est pas quasi-déployé et à torsion
intérieure, on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets quasidéployés et à torsion intérieure (G
, ˜
G
, a
) tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ), ainsi
que toutes les assertions concernant un triplet (G
, ˜
G
, a
) quelconque tel que
dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si une assertion concerne un espace de Levi ˜
M de ˜
G,
on suppose connues toutes les assertions concernant le même triplet (G, ˜
G, a)
et un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
M . Pour démontrer une assertion concernant un K-triplet (KG, K ˜
G, a), on suppose connues toutes les assertions concernant des triplets quasi-déployés et à torsion intérieure (G
, ˜
G
, a
) tels
que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et toutes les assertions concernant des K-triplets
(KG
, K ˜
G
, a) tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ) (c’est-à-dire que, pour nous, la
notion de K-triplet quasi-déployé et à torsion intérieure n’existe pas). Si une assertion concerne un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ), on suppose connues toutes
les assertions concernant le même triplet (KG, K ˜
G, a) et un K-espace de Levi
K ˜
L ∈ L(K ˜
M ) tel que K ˜
L = K ˜
M .
V.1.2 L’application φ ˜
M
Jusqu’en 1.7, on considère un triplet (G, ˜
G, a). Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ). En [81] 6.4, on a
défini, en suivant Arthur, une application φ ˜
M qui, dans le cas qui nous occupe où
le corps de base est R, n’était définie que sur l’espace C
∞
c ( ˜
G(R), K) des fonctions
K-finies. Cela parce que l’on utilisait le théorème de Paley–Wiener de DelormeMezo, qui s’applique à ces fonctions. En utilisant le théorème de Renard, cf. [IV]
1.4, on va étendre cette application à tout C
∞
c ( ˜
G(R)). Pour simplifier, on fixe des
mesures de Haar sur tous les groupes qui apparaissent.
Notons C
∞
ac ( ˜
G(R)) l’espace des fonctions f : ˜
G(R) → C telles que, pour toute
fonction b ∈ C
∞
c (A ˜
G ), la fonction f (b ◦ H ˜
G ) : γ → b(H ˜
G (γ))f (γ) appartienne à
C
∞
c ( ˜
G(R)). Considérons l’immense produit
P = C
∞
c ( ˜
G(R))
C
∞
c (A ˜
G ) .
Ses éléments sont les familles (φ b ) b∈C ∞
c (A ˜
G ) , où φ b ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) pour tout b.
L’espace C
∞
c ( ˜
G(R)) étant muni de la topologie usuelle, on munit P de la topologie