V.1. Intégrales orbitales pondérées
467
une intégrale orbitale à support fortement ˜
G-régulier. Cette assertion sera utilisée
en 2.5 et 5.2. Comme on l’a déjà dit, elle ne sera démontrée qu’au chapitre X (cf.
[X] 3.5 et 7.7). A ce gros problème de définition près, les preuves sont très similaires à celles du cas non-archimédien. On ne les reprendra que rapidement. Le
point qui nous intéressera surtout sera de vérifier que l’on ne sort jamais d’espaces
pour lesquels tous les termes sont définis. On obtient les mêmes résultats qu’en
[III], c’est-à-dire que tous les résultats espérés résultent de l’assertion principale
évoquée ci-dessus. Comme on vient de le dire, la différence est que non seulement
les résultats eux-mêmes dépendent de l’assertion principale mais même la définition de certains termes en dépend. Toutefois, on obtient des définitions et résultats
non conditionnels dans le cas où G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et
a = 1. Dans ce cas, on montre par la même méthode qu’en [III] que l’assertion
principale est conséquence des résultats d’Arthur.
Contrairement au cas non-archimédien, on doit souvent travailler avec des Kespaces. C’est seulement dans ce cadre que l’on a de bonnes formules d’inversion
entre intégrales orbitales sur ˜
G(R) et intégrales orbitales stables sur les espaces
associés aux données endoscopiques. La remarque de 1.8 ci-dessous éclairera peutêtre le lecteur à ce sujet.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’intérêt des constructions des paragraphes 2 à 5 est que le germe en a = 1 de la fonction
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f) appartient à un espace de germes que l’on contrôle bien. C’est
ce qui nous permet d’obtenir les résultats voulus. Toutefois, pour certaines applications ultérieures, la définition qu’elles nous fournissent de I
˜
G
˜
M
(γ, f) n’a pas la
meilleure forme possible. Il s’avère que l’on aura besoin d’une autre approximation de cette intégrale, que nous établissons dans la section 6. Dans cette nouvelle
approximation, on perd sur l’espace des germes de fonctions en a, qui est moins
contrôlable. Par contre, il n’intervient plus dans la formule que des intégrales
I
˜
G
˜
L
(γ ˜
L (a), f), où γ ˜
L (a) est une distribution sur ˜
L(R) à support ˜
G-équisingulier.
On obtient ainsi une approximation de I
˜
G
˜
M
(γ, f) par de telles intégrales.
Dans la dernière section, on dira quelques mots du cas où le corps de base
n’est plus R mais C.
V.1 Intégrales orbitales pondérées
V.1.1 La situation
Dans ce chapitre, le corps de base est R. On considérera soit un triplet (G, ˜
G, a)
comme en [IV] 1.1, soit un «K-triplet» (KG, K ˜
G, a) comme en [I] 1.11. Dans le
premier cas, on fixe un espace de Levi minimal ˜
M 0 de ˜
G et un sous-groupe compact
maximal K de G(R) en bonne position relativement à M 0 . Dans le second, on écrit
K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π . Pour tout p ∈ Π, on fixe un espace de Levi minimal ˜
M p,0 de ˜
G p
et un sous-groupe compact maximal K p de G p (R) qui soit en bonne position
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une intégrale orbitale à support fortement ˜
G-régulier. Cette assertion sera utilisée
en 2.5 et 5.2. Comme on l’a déjà dit, elle ne sera démontrée qu’au chapitre X (cf.
[X] 3.5 et 7.7). A ce gros problème de définition près, les preuves sont très similaires à celles du cas non-archimédien. On ne les reprendra que rapidement. Le
point qui nous intéressera surtout sera de vérifier que l’on ne sort jamais d’espaces
pour lesquels tous les termes sont définis. On obtient les mêmes résultats qu’en
[III], c’est-à-dire que tous les résultats espérés résultent de l’assertion principale
évoquée ci-dessus. Comme on vient de le dire, la différence est que non seulement
les résultats eux-mêmes dépendent de l’assertion principale mais même la définition de certains termes en dépend. Toutefois, on obtient des définitions et résultats
non conditionnels dans le cas où G est quasi-déployé, ˜
G est à torsion intérieure et
a = 1. Dans ce cas, on montre par la même méthode qu’en [III] que l’assertion
principale est conséquence des résultats d’Arthur.
Contrairement au cas non-archimédien, on doit souvent travailler avec des Kespaces. C’est seulement dans ce cadre que l’on a de bonnes formules d’inversion
entre intégrales orbitales sur ˜
G(R) et intégrales orbitales stables sur les espaces
associés aux données endoscopiques. La remarque de 1.8 ci-dessous éclairera peutêtre le lecteur à ce sujet.
Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. L’intérêt des constructions des paragraphes 2 à 5 est que le germe en a = 1 de la fonction
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f) appartient à un espace de germes que l’on contrôle bien. C’est
ce qui nous permet d’obtenir les résultats voulus. Toutefois, pour certaines applications ultérieures, la définition qu’elles nous fournissent de I
˜
G
˜
M
(γ, f) n’a pas la
meilleure forme possible. Il s’avère que l’on aura besoin d’une autre approximation de cette intégrale, que nous établissons dans la section 6. Dans cette nouvelle
approximation, on perd sur l’espace des germes de fonctions en a, qui est moins
contrôlable. Par contre, il n’intervient plus dans la formule que des intégrales
I
˜
G
˜
L
(γ ˜
L (a), f), où γ ˜
L (a) est une distribution sur ˜
L(R) à support ˜
G-équisingulier.
On obtient ainsi une approximation de I
˜
G
˜
M
(γ, f) par de telles intégrales.
Dans la dernière section, on dira quelques mots du cas où le corps de base
n’est plus R mais C.
V.1 Intégrales orbitales pondérées
V.1.1 La situation
Dans ce chapitre, le corps de base est R. On considérera soit un triplet (G, ˜
G, a)
comme en [IV] 1.1, soit un «K-triplet» (KG, K ˜
G, a) comme en [I] 1.11. Dans le
premier cas, on fixe un espace de Levi minimal ˜
M 0 de ˜
G et un sous-groupe compact
maximal K de G(R) en bonne position relativement à M 0 . Dans le second, on écrit
K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π . Pour tout p ∈ Π, on fixe un espace de Levi minimal ˜
M p,0 de ˜
G p
et un sous-groupe compact maximal K p de G p (R) qui soit en bonne position