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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
où D
st
g´ eom ( ˜
M
(R)) est le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
M
(R)) qui sont
stables. Notons de même D
st
orb ( ˜
M
(R)) le sous-espace des éléments de D orb ( ˜
M
(R))
qui sont stables. Comme le montre un exemple dû à Magdy Assem (nous remercions Kottwitz de nous l’avoir indiqué), le transfert n’envoie pas en général l’espace
D
st
orb ( ˜
M
(R)) dans D orb ( ˜
M (R), ω). Les constructions que l’on a faites en [II] sur
un corps local non-archimédien s’effondrent si on se limite aux espaces D orb . La
méthode utilisée par Arthur pour résoudre ce problème consiste à généraliser la
définition des intégrales I
˜
G
˜
M
(γ, f ) aux éléments γ de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) tout entier,
cf. [21]. Nous utilisons une autre méthode. Dans un premier temps, on se limite
aux éléments de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) dont le support est formé d’éléments γ ∈ ˜
M (R)
qui sont ˜
G-équisinguliers, c’est-à-dire tels que M γ = G γ . Pour de tels éléments, il
est facile d’étendre la définition des termes I
˜
G
˜
M
(γ, f ). La théorie, restreinte à ces
distributions, est alors très semblable à celle du cas non-archimédien. C’est l’objet
de la section 1.
Pour traiter les distributions à support quelconque, on définit par récurrence un espace D tr-orb ( ˜
M (R), ω), cf. section 2. C’est grosso-modo l’espace engendré par D orb ( ˜
M (R), ω) et par les images par transfert endoscopique d’espaces
D
st
tr-orb ( ˜
M
(R)) quand M
parcourt toutes les données endoscopiques de (M, ˜
M , a).
Cette définition assure que ces espaces sont «stables par transfert», en un sens assez clair. Le point est de montrer que l’on peut étendre la définition des termes
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) aux éléments γ ∈ D tr-orb ( ˜
M (R), ω). On énonce précisément en 2.4 toutes
les propriétés que ces termes doivent vérifier. Les preuves, dont le seul intérêt est
d’exister, sont l’objet des sections 3, 4 et 5.
Indiquons brièvement la méthode. Si γ est une honnête intégrale orbitale associée à un élément de ˜
M (R) qui n’est pas ˜
G-équisingulier, Arthur définit I
˜
G
˜
M
(γ, f )
comme la limite d’une certaine combinaison linéaires d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
L
(γ ˜
L , f ) associées à des espaces de Levi ˜
L contenant ˜
M
et à des éléments γ ˜
L de ˜
L(R) qui sont ˜
G-équisinguliers et qui tendent en un sens
convenable vers l’élément de départ. On veut étendre cette définition aux éléments
de D tr-orb ( ˜
M (R), ω). Supposons qu’un tel élément soit l’image par transfert endoscopique d’un élément d’un espace D
st
tr-orb ( ˜
M
(R)) comme plus haut. Il n’est
pas du tout clair de lui associer comme ci-dessus une combinaison linéaires d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
L
(γ ˜
L , f ) qui ait une limite quand les γ ˜
L
tendent vers γ. Mais, en raisonnant comme toujours par récurrence, il est facile de
définir raisonnablement une telle combinaison linéaire d’intégrales endoscopiques
I
˜
G,E
˜
L
(γ ˜
L , f ). On définit alors I
˜
G
˜
M
(γ, f ) comme la limite de cette expression. Pour
que cette définition soit correcte, il faut bien sûr démontrer que, pour un élément
γ auquel s’appliquent les deux définitions possibles, c’est-à-dire pour un γ qui est
dans D orb ( ˜
M (R), ω) et qui est aussi égal au transfert endoscopique d’un élément
d’un espace D
st
tr-orb ( ˜
M
(R)), ces deux définitions coïncident. Dans le cas général,
nous ne pouvons le faire qu’en admettant une hypothèse. Celle-ci est l’assertion
principale de la stabilisation, à savoir l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ) quand γ est
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
où D
st
g´ eom ( ˜
M
(R)) est le sous-espace des éléments de D g´ eom ( ˜
M
(R)) qui sont
stables. Notons de même D
st
orb ( ˜
M
(R)) le sous-espace des éléments de D orb ( ˜
M
(R))
qui sont stables. Comme le montre un exemple dû à Magdy Assem (nous remercions Kottwitz de nous l’avoir indiqué), le transfert n’envoie pas en général l’espace
D
st
orb ( ˜
M
(R)) dans D orb ( ˜
M (R), ω). Les constructions que l’on a faites en [II] sur
un corps local non-archimédien s’effondrent si on se limite aux espaces D orb . La
méthode utilisée par Arthur pour résoudre ce problème consiste à généraliser la
définition des intégrales I
˜
G
˜
M
(γ, f ) aux éléments γ de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) tout entier,
cf. [21]. Nous utilisons une autre méthode. Dans un premier temps, on se limite
aux éléments de D g´ eom ( ˜
M (R), ω) dont le support est formé d’éléments γ ∈ ˜
M (R)
qui sont ˜
G-équisinguliers, c’est-à-dire tels que M γ = G γ . Pour de tels éléments, il
est facile d’étendre la définition des termes I
˜
G
˜
M
(γ, f ). La théorie, restreinte à ces
distributions, est alors très semblable à celle du cas non-archimédien. C’est l’objet
de la section 1.
Pour traiter les distributions à support quelconque, on définit par récurrence un espace D tr-orb ( ˜
M (R), ω), cf. section 2. C’est grosso-modo l’espace engendré par D orb ( ˜
M (R), ω) et par les images par transfert endoscopique d’espaces
D
st
tr-orb ( ˜
M
(R)) quand M
parcourt toutes les données endoscopiques de (M, ˜
M , a).
Cette définition assure que ces espaces sont «stables par transfert», en un sens assez clair. Le point est de montrer que l’on peut étendre la définition des termes
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) aux éléments γ ∈ D tr-orb ( ˜
M (R), ω). On énonce précisément en 2.4 toutes
les propriétés que ces termes doivent vérifier. Les preuves, dont le seul intérêt est
d’exister, sont l’objet des sections 3, 4 et 5.
Indiquons brièvement la méthode. Si γ est une honnête intégrale orbitale associée à un élément de ˜
M (R) qui n’est pas ˜
G-équisingulier, Arthur définit I
˜
G
˜
M
(γ, f )
comme la limite d’une certaine combinaison linéaires d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
L
(γ ˜
L , f ) associées à des espaces de Levi ˜
L contenant ˜
M
et à des éléments γ ˜
L de ˜
L(R) qui sont ˜
G-équisinguliers et qui tendent en un sens
convenable vers l’élément de départ. On veut étendre cette définition aux éléments
de D tr-orb ( ˜
M (R), ω). Supposons qu’un tel élément soit l’image par transfert endoscopique d’un élément d’un espace D
st
tr-orb ( ˜
M
(R)) comme plus haut. Il n’est
pas du tout clair de lui associer comme ci-dessus une combinaison linéaires d’intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes I
˜
G
˜
L
(γ ˜
L , f ) qui ait une limite quand les γ ˜
L
tendent vers γ. Mais, en raisonnant comme toujours par récurrence, il est facile de
définir raisonnablement une telle combinaison linéaire d’intégrales endoscopiques
I
˜
G,E
˜
L
(γ ˜
L , f ). On définit alors I
˜
G
˜
M
(γ, f ) comme la limite de cette expression. Pour
que cette définition soit correcte, il faut bien sûr démontrer que, pour un élément
γ auquel s’appliquent les deux définitions possibles, c’est-à-dire pour un γ qui est
dans D orb ( ˜
M (R), ω) et qui est aussi égal au transfert endoscopique d’un élément
d’un espace D
st
tr-orb ( ˜
M
(R)), ces deux définitions coïncident. Dans le cas général,
nous ne pouvons le faire qu’en admettant une hypothèse. Celle-ci est l’assertion
principale de la stabilisation, à savoir l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ) quand γ est