Chapitre V
Intégrales orbitales et endoscopie
sur le corps réel
Introduction
Dans deux chapitres précédents ([II] et [III]), on a traité des intégrales orbitales
pondérées et de leur stabilisation, le corps de base étant local non-archimédien. On
considère ici la même question, le corps de base étant cette fois réel. Quelles sont
les différences ? De temps en temps, on doit faire un peu plus de topologie que sur
un corps local non-archimédien. En effet, dans le cas réel, les distributions sont des
formes linéaires continues sur des espaces de fonctions. Cette continuité est essentielle et intervient dans la plupart des démonstrations. Mais ceci n’induit guère de
changement dans la structure des preuves. Il y a une différence beaucoup plus perturbante. Utilisons les notations des chapitres précédents : G est un groupe réductif
connexe défini sur un corps local F , ˜
G est un espace tordu sous G et a est un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) dont se déduit un caractère ω de G(F ). On suppose ω unitaire. On définit l’espace D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) des distributions ω-équivariantes à support contenu dans un nombre fini de classes de conjugaison. On note D orb ( ˜
G(F ), ω)
le sous-espace engendré par les intégrales orbitales. Si F est non-archimédien, ces
deux espaces sont égaux. Dans le présent chapitre, on a F = R et ces deux espaces
ne sont plus du tout égaux. Pour un espace de Levi ˜
M , on définit à la suite d’Arthur les intégrales orbitales pondérées tordues et leurs variantes ω-équivariantes.
On peut considérer ces dernières comme des formes bilinéaires (γ, f) → I
˜
G
˜
M
(γ, f),
où f appartient à C
∞
c ( ˜
G(R)) et γ appartient à D orb ( ˜
M (R), ω). La définition ne
s’étend pas de façon simple à γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (R), ω). Quand on veut «stabiliser» ces
intégrales, on est conduit à transférer les distributions γ. Considérons une donnée
endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a). Supposons que l’on soit dans une
situation simple où le recours à des données auxiliaires ne soit pas nécessaire. On
peut alors définir un transfert
D
st
g´ eom ( ˜
M
(R)) → D g´ eom ( ˜
M (R), ω),
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _5
Progress in Mathematics 316, DOI
465
© Springer International Publishing Switzerland 2016
Intégrales orbitales et endoscopie
sur le corps réel
Introduction
Dans deux chapitres précédents ([II] et [III]), on a traité des intégrales orbitales
pondérées et de leur stabilisation, le corps de base étant local non-archimédien. On
considère ici la même question, le corps de base étant cette fois réel. Quelles sont
les différences ? De temps en temps, on doit faire un peu plus de topologie que sur
un corps local non-archimédien. En effet, dans le cas réel, les distributions sont des
formes linéaires continues sur des espaces de fonctions. Cette continuité est essentielle et intervient dans la plupart des démonstrations. Mais ceci n’induit guère de
changement dans la structure des preuves. Il y a une différence beaucoup plus perturbante. Utilisons les notations des chapitres précédents : G est un groupe réductif
connexe défini sur un corps local F , ˜
G est un espace tordu sous G et a est un élément de H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) dont se déduit un caractère ω de G(F ). On suppose ω unitaire. On définit l’espace D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) des distributions ω-équivariantes à support contenu dans un nombre fini de classes de conjugaison. On note D orb ( ˜
G(F ), ω)
le sous-espace engendré par les intégrales orbitales. Si F est non-archimédien, ces
deux espaces sont égaux. Dans le présent chapitre, on a F = R et ces deux espaces
ne sont plus du tout égaux. Pour un espace de Levi ˜
M , on définit à la suite d’Arthur les intégrales orbitales pondérées tordues et leurs variantes ω-équivariantes.
On peut considérer ces dernières comme des formes bilinéaires (γ, f) → I
˜
G
˜
M
(γ, f),
où f appartient à C
∞
c ( ˜
G(R)) et γ appartient à D orb ( ˜
M (R), ω). La définition ne
s’étend pas de façon simple à γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (R), ω). Quand on veut «stabiliser» ces
intégrales, on est conduit à transférer les distributions γ. Considérons une donnée
endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a). Supposons que l’on soit dans une
situation simple où le recours à des données auxiliaires ne soit pas nécessaire. On
peut alors définir un transfert
D
st
g´ eom ( ˜
M
(R)) → D g´ eom ( ˜
M (R), ω),
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _5
Progress in Mathematics 316, DOI
465
© Springer International Publishing Switzerland 2016