464
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
IV.3.5 Transfert K-fini, version générale
Considérons dans ce paragraphe un K-espace K ˜
G, cf. [I] 1.11. On fixe pour chaque
composante connexe K ˜
G p un espace de Levi minimal ˜
M p,0 et un sous-groupe compact maximal K p de G p (R) en bonne position relativement à ˜
M p,0 . Les définitions
du paragraphe précédent se généralisent immédiatement. Un ensemble fini de Ktypes est la réunion disjointe d’ensembles finis de K p -types. On a une application
de transfert
I(K ˜
G(R), ω) → ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
).
On renvoie à [I] 4.11 pour les notations (on a supprimé les espaces de mesures,
les mesures étant fixées depuis 2.2). Pour tout G
∈ E( ˜
G, a), fixons des données
auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 et un sous-groupe compact maximal K
G
1 de G
1 (R).
Corollaire.
(i) Soit Ω un ensemble fini de K-types. Alors il existe pour tout G
∈ E( ˜
G, a) un
ensemble fini de K
G
1 -types Ω
G
1 de sorte que, pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R),ω,Ω)
et tout G
∈ E( ˜
G, a), le transfert f
G
soit l’image dans SI(G
) d’un élément
de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
G
1 ).
(ii) Pour tout G
∈ E( ˜
G, a), soit Ω
G
1 un ensemble fini de K
G
1 -types. Alors il
existe un ensemble fini Ω de K-types de sorte que la condition suivante soit
vérifiée. Soit f 0 ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)), supposons que, pour tout G
∈ E( ˜
G, a), le
transfert f
G
soit l’image dans SI(G
) d’un élément de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
G
1 ).
Alors il existe un élément f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R), Ω) tel que f
G
= f
G
0
pour tout
G
∈ E( ˜
G, a).
Preuve. Le (i) se déduit immédiatement du (ii) du corollaire précédent. Le (ii)
se prouve de la même façon que le (iii) de ce corollaire. On laisse les détails au
lecteur.
IV.3.6 Le cas du corps de base C
Dans tout le chapitre, le corps de base était R. Remplaçons-le maintenant par
C. Les mêmes définitions et théorèmes restent valables. En effet, considérons un
triplet (G, ˜
G, a) défini sur C. Par restriction des scalaires, on en déduit un triplet
(G R , ˜
G R , a R ) sur R. Il suffit alors d’appliquer les théorèmes à ce triplet. En fait, le
cas complexe est beaucoup plus simple. Il n’y a de fonctions cuspidales sur ˜
G(C)
que si G est un tore. Le groupe G est forcément déployé. Dans le cas où (G, ˜
G, a)
est à torsion intérieure, on a l’égalité SI( ˜
G(C)) = I( ˜
G(C)).
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
IV.3.5 Transfert K-fini, version générale
Considérons dans ce paragraphe un K-espace K ˜
G, cf. [I] 1.11. On fixe pour chaque
composante connexe K ˜
G p un espace de Levi minimal ˜
M p,0 et un sous-groupe compact maximal K p de G p (R) en bonne position relativement à ˜
M p,0 . Les définitions
du paragraphe précédent se généralisent immédiatement. Un ensemble fini de Ktypes est la réunion disjointe d’ensembles finis de K p -types. On a une application
de transfert
I(K ˜
G(R), ω) → ⊕ G ∈E( ˜
G,a) SI(G
).
On renvoie à [I] 4.11 pour les notations (on a supprimé les espaces de mesures,
les mesures étant fixées depuis 2.2). Pour tout G
∈ E( ˜
G, a), fixons des données
auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 et un sous-groupe compact maximal K
G
1 de G
1 (R).
Corollaire.
(i) Soit Ω un ensemble fini de K-types. Alors il existe pour tout G
∈ E( ˜
G, a) un
ensemble fini de K
G
1 -types Ω
G
1 de sorte que, pour tout f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R),ω,Ω)
et tout G
∈ E( ˜
G, a), le transfert f
G
soit l’image dans SI(G
) d’un élément
de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
G
1 ).
(ii) Pour tout G
∈ E( ˜
G, a), soit Ω
G
1 un ensemble fini de K
G
1 -types. Alors il
existe un ensemble fini Ω de K-types de sorte que la condition suivante soit
vérifiée. Soit f 0 ∈ C
∞
c (K ˜
G(R)), supposons que, pour tout G
∈ E( ˜
G, a), le
transfert f
G
soit l’image dans SI(G
) d’un élément de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
G
1 ).
Alors il existe un élément f ∈ C
∞
c (K ˜
G(R), Ω) tel que f
G
= f
G
0
pour tout
G
∈ E( ˜
G, a).
Preuve. Le (i) se déduit immédiatement du (ii) du corollaire précédent. Le (ii)
se prouve de la même façon que le (iii) de ce corollaire. On laisse les détails au
lecteur.
IV.3.6 Le cas du corps de base C
Dans tout le chapitre, le corps de base était R. Remplaçons-le maintenant par
C. Les mêmes définitions et théorèmes restent valables. En effet, considérons un
triplet (G, ˜
G, a) défini sur C. Par restriction des scalaires, on en déduit un triplet
(G R , ˜
G R , a R ) sur R. Il suffit alors d’appliquer les théorèmes à ce triplet. En fait, le
cas complexe est beaucoup plus simple. Il n’y a de fonctions cuspidales sur ˜
G(C)
que si G est un tore. Le groupe G est forcément déployé. Dans le cas où (G, ˜
G, a)
est à torsion intérieure, on a l’égalité SI( ˜
G(C)) = I( ˜
G(C)).