IV.3. Transfert
463
Soit (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) un élément de P W
∞ ( ˜
G, ω), notons
(ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 ) ˜
L ∈L( ˜
M
0 ),˜ σ1∈B st ( ˜
L
1 )
son transfert (avec une notation évidente). D’après le corollaire 3.3, on a la description suivante. Soit ˜
L
∈ L( ˜
M
0 ). Si ˜
L
ne correspond pas à un espace de Levi
de ˜
G, alors ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 = 0 pour tout ˜
σ 1 . Supposons que ˜
L
soit associé à un espace
de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ). Pour ˜
σ 1 ∈ B
st ( ˜
L
1 ), on peut écrire transfert(˜ σ 1 ) comme une
combinaison linéaire finie d’éléments de la base B( ˜
L) :
transfert(˜ σ 1 ) =
˜
π∈B( ˜
L)
c ˜
π ˜
π.
On a alors
ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 =
˜
π∈B( ˜
L)
c ˜
π ϕ ˜
L,˜ π .
Par compatibilité du transfert avec les actions des centres de l’algèbre enveloppante, on sait que les éléments ˜
π qui apparaissent ont un caractère central
paramétré par la W
L -orbite dans h
∗ engendrée par la W
L
-orbite μ(˜ σ 1 ) dans
h
G
,∗
˜
μ(ω) + h
θ,∗ . Il en résulte que ˜
μ(˜ π) = (˜ μ(˜ σ 1 ))
G . Supposons que la famille
(ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) appartienne à P W ( ˜
G, ω, ˜
μ). Si ˜
μ(˜ σ 1 ) ∈ q
−1 (˜ μ), le coefficient c ˜
π est nul ou ϕ ˜
L,˜ π est nul. Donc ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 = 0. Cela prouve que la famille
(ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 ) ˜
L ∈L( ˜
M
0 ),˜ σ1∈B st ( ˜
L
1 ) appartient à P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , q
−1 (˜ μ)). D’où (5).
L’assertion (3) en résulte immédiatement : il suffit de prendre pour Ω
pw la
réunion des q
−1 (˜ μ) pour μ ∈ Ω
pw .
Pour tout type spectral ˜
μ pour ˜
G, on a défini P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) comme un sousespace de P W
∞ ( ˜
G, ω). On a un projecteur p ˜
μ : P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W ( ˜
G, ω, ˜
μ). Il
associe à une famille (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) la famille (ϕ
˜
L,˜ π
) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) , où
ϕ
˜
L,˜ π
=
ϕ ˜
L,˜ π , si ˜
μ(˜ π) = ˜
μ;
0,
sinon.
Plus généralement, on a un projecteur p Ω pw : P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W ( ˜
G, ω, Ω
pw )
pour tout ensemble fini Ω
pw de types spectraux. La preuve de (5) prouve plus
généralement que, pour tout tel ensemble, on a
transfert ◦p Ω pw = p q −1 (Ω pw ) ◦ transfert .
Soit Ω
pw un ensemble fini de λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1 , posons Ω
pw = q(Ω
pw ).
Soit ϕ
∈ Im ∩P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw ). Introduisons un élément ϕ ∈ P W
∞ ( ˜
G, ω) tel que
transfert(ϕ) = ϕ
. Parce que ϕ
∈ P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw ), on a p q −1 (Ω pw ) (ϕ
) = ϕ
.
Donc
ϕ
= p q −1 (Ω pw ) (ϕ
) = p q −1 (Ω pw ) ◦ transfert(ϕ) = transfert ◦p Ω pw (ϕ).
Donc ϕ
est le transfert de l’élément p Ω pw (ϕ) ∈ P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ). Cela prouve (4)
et le corollaire.
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Soit (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) un élément de P W
∞ ( ˜
G, ω), notons
(ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 ) ˜
L ∈L( ˜
M
0 ),˜ σ1∈B st ( ˜
L
1 )
son transfert (avec une notation évidente). D’après le corollaire 3.3, on a la description suivante. Soit ˜
L
∈ L( ˜
M
0 ). Si ˜
L
ne correspond pas à un espace de Levi
de ˜
G, alors ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 = 0 pour tout ˜
σ 1 . Supposons que ˜
L
soit associé à un espace
de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ). Pour ˜
σ 1 ∈ B
st ( ˜
L
1 ), on peut écrire transfert(˜ σ 1 ) comme une
combinaison linéaire finie d’éléments de la base B( ˜
L) :
transfert(˜ σ 1 ) =
˜
π∈B( ˜
L)
c ˜
π ˜
π.
On a alors
ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 =
˜
π∈B( ˜
L)
c ˜
π ϕ ˜
L,˜ π .
Par compatibilité du transfert avec les actions des centres de l’algèbre enveloppante, on sait que les éléments ˜
π qui apparaissent ont un caractère central
paramétré par la W
L -orbite dans h
∗ engendrée par la W
L
-orbite μ(˜ σ 1 ) dans
h
G
,∗
˜
μ(ω) + h
θ,∗ . Il en résulte que ˜
μ(˜ π) = (˜ μ(˜ σ 1 ))
G . Supposons que la famille
(ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) appartienne à P W ( ˜
G, ω, ˜
μ). Si ˜
μ(˜ σ 1 ) ∈ q
−1 (˜ μ), le coefficient c ˜
π est nul ou ϕ ˜
L,˜ π est nul. Donc ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 = 0. Cela prouve que la famille
(ϕ ˜
L
1 ,˜ σ1 ) ˜
L ∈L( ˜
M
0 ),˜ σ1∈B st ( ˜
L
1 ) appartient à P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , q
−1 (˜ μ)). D’où (5).
L’assertion (3) en résulte immédiatement : il suffit de prendre pour Ω
pw la
réunion des q
−1 (˜ μ) pour μ ∈ Ω
pw .
Pour tout type spectral ˜
μ pour ˜
G, on a défini P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) comme un sousespace de P W
∞ ( ˜
G, ω). On a un projecteur p ˜
μ : P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W ( ˜
G, ω, ˜
μ). Il
associe à une famille (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) la famille (ϕ
˜
L,˜ π
) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) , où
ϕ
˜
L,˜ π
=
ϕ ˜
L,˜ π , si ˜
μ(˜ π) = ˜
μ;
0,
sinon.
Plus généralement, on a un projecteur p Ω pw : P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W ( ˜
G, ω, Ω
pw )
pour tout ensemble fini Ω
pw de types spectraux. La preuve de (5) prouve plus
généralement que, pour tout tel ensemble, on a
transfert ◦p Ω pw = p q −1 (Ω pw ) ◦ transfert .
Soit Ω
pw un ensemble fini de λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1 , posons Ω
pw = q(Ω
pw ).
Soit ϕ
∈ Im ∩P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw ). Introduisons un élément ϕ ∈ P W
∞ ( ˜
G, ω) tel que
transfert(ϕ) = ϕ
. Parce que ϕ
∈ P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw ), on a p q −1 (Ω pw ) (ϕ
) = ϕ
.
Donc
ϕ
= p q −1 (Ω pw ) (ϕ
) = p q −1 (Ω pw ) ◦ transfert(ϕ) = transfert ◦p Ω pw (ϕ).
Donc ϕ
est le transfert de l’élément p Ω pw (ϕ) ∈ P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ). Cela prouve (4)
et le corollaire.