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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, on a les variantes stables SI( ˜
G(R), Ω) et P W
st ( ˜
G, Ω
pw ). En reprenant la preuve du corollaire
2.9, on obtient des variantes de (1) et (2) pour ces variantes stables.
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour notre donnée endoscopique
G
. On fixe un sous-groupe compact maximal K
1 de G
1 (R). Les constructions cidessus s’adaptent à ces données auxiliaires, en considérant alors des fonctions et
des représentations qui se transforment selon le caractère λ 1 de C 1 (R). Il convient
peut-être de parler alors de λ 1 -type spectral
Corollaire.
(i) Pour toute fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) qui est K-finie, le transfert f
G
est
l’image dans SI(G
) d’une fonction K
1 -finie dans C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)).
(ii) Soit Ω un ensemble fini de K-types. Alors il existe un ensemble fini Ω
1 de
K
1 -types tel que, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω), le transfert f
G
est l’image
dans SI(G
) d’un élément de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
1 ).
(iii) Soit Ω
1 un ensemble fini de K
1 -types. Alors il existe un ensemble fini Ω de
K-types de sorte que la condition suivante soit vérifiée. Soit f 0 ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
supposons que son transfert f
G
0
soit l’image dans SI(G
) d’un élément de
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
1 ). Alors il existe f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) tel que f
G
= f
G
0 .
Preuve. Evidemment, (i) résulte de (ii). Le transfert s’identifie à une application
linéaire
transfert : P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W
∞,st
λ1 ( ˜
G
1 ).
Notons Im son image. Grâce aux propriétés (1) et (2) ci-dessus et à leurs analogues
stables, les assertions (ii) et (iii) résultent des propriétés suivantes
(3) soit Ω
pw un ensemble fini de types spectraux pour ˜
G ; alors il existe un
ensemble fini Ω
pw de λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1 de sorte que
transfert(P W ( ˜
G, ω, Ω
pw )) ⊂ P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw );
(4) soit Ω
pw un ensemble fini de λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1 ; alors il existe un
ensemble fini Ω
pw de types spectraux pour ˜
G de sorte que
Im ∩P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw ) ⊂ transfert(P W ( ˜
G, ω, Ω
pw )).
Un λ 1 -type spectral ˜
μ
pour ˜
G
1 est une orbite pour l’action de W
G
dans
h
G
,∗ . Cet ensemble est isomorphe à ˜
μ(ω) + h
θ,∗ , l’isomorphisme étant compatible
avec les actions de W
G
et W
θ et le plongement de W
G
dans W
θ . On peut
donc définir l’orbite pour W
θ engendrée par ˜
μ
, que l’on note (˜ μ
)
G . On obtient
une application q : ˜
μ
→ (˜ μ
)
G de l’ensemble des λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1
dans l’ensemble des types spectraux pour ˜
G. Cette application est à fibres finies.
Montrons que
(5) pour tout type spectral ˜
μ pour ˜
G, on a l’inclusion
transfert(P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) ⊂ P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , q
−1 (˜ μ)).
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure, on a les variantes stables SI( ˜
G(R), Ω) et P W
st ( ˜
G, Ω
pw ). En reprenant la preuve du corollaire
2.9, on obtient des variantes de (1) et (2) pour ces variantes stables.
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour notre donnée endoscopique
G
. On fixe un sous-groupe compact maximal K
1 de G
1 (R). Les constructions cidessus s’adaptent à ces données auxiliaires, en considérant alors des fonctions et
des représentations qui se transforment selon le caractère λ 1 de C 1 (R). Il convient
peut-être de parler alors de λ 1 -type spectral
Corollaire.
(i) Pour toute fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) qui est K-finie, le transfert f
G
est
l’image dans SI(G
) d’une fonction K
1 -finie dans C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)).
(ii) Soit Ω un ensemble fini de K-types. Alors il existe un ensemble fini Ω
1 de
K
1 -types tel que, pour tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω), le transfert f
G
est l’image
dans SI(G
) d’un élément de C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
1 ).
(iii) Soit Ω
1 un ensemble fini de K
1 -types. Alors il existe un ensemble fini Ω de
K-types de sorte que la condition suivante soit vérifiée. Soit f 0 ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)),
supposons que son transfert f
G
0
soit l’image dans SI(G
) d’un élément de
C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R), Ω
1 ). Alors il existe f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) tel que f
G
= f
G
0 .
Preuve. Evidemment, (i) résulte de (ii). Le transfert s’identifie à une application
linéaire
transfert : P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W
∞,st
λ1 ( ˜
G
1 ).
Notons Im son image. Grâce aux propriétés (1) et (2) ci-dessus et à leurs analogues
stables, les assertions (ii) et (iii) résultent des propriétés suivantes
(3) soit Ω
pw un ensemble fini de types spectraux pour ˜
G ; alors il existe un
ensemble fini Ω
pw de λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1 de sorte que
transfert(P W ( ˜
G, ω, Ω
pw )) ⊂ P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw );
(4) soit Ω
pw un ensemble fini de λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1 ; alors il existe un
ensemble fini Ω
pw de types spectraux pour ˜
G de sorte que
Im ∩P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , Ω
pw ) ⊂ transfert(P W ( ˜
G, ω, Ω
pw )).
Un λ 1 -type spectral ˜
μ
pour ˜
G
1 est une orbite pour l’action de W
G
dans
h
G
,∗ . Cet ensemble est isomorphe à ˜
μ(ω) + h
θ,∗ , l’isomorphisme étant compatible
avec les actions de W
G
et W
θ et le plongement de W
G
dans W
θ . On peut
donc définir l’orbite pour W
θ engendrée par ˜
μ
, que l’on note (˜ μ
)
G . On obtient
une application q : ˜
μ
→ (˜ μ
)
G de l’ensemble des λ 1 -types spectraux pour ˜
G
1
dans l’ensemble des types spectraux pour ˜
G. Cette application est à fibres finies.
Montrons que
(5) pour tout type spectral ˜
μ pour ˜
G, on a l’inclusion
transfert(P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) ⊂ P W
st
λ1 ( ˜
G
1 , q
−1 (˜ μ)).