IV.3. Transfert
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Corollaire. L’application transfert est bien le transfert endoscopique, c’est-à-dire
que, pour tout ˜
σ ∈ D
st
spec (G
) et tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), on a l’égalité
I
˜
G (transfert(˜ σ), f) = S
G
(˜ σ, f
G
).
Remarque. Si l’on rétablit plus canoniquement les espaces de mesures, l’application transfert devient une application linéaire
transfert : D
st
spec (G
) ⊗ Mes(G
(R))
∗
→ D spec ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
IV.3.4 Transfert K-fini
Soit Ω un ensemble fini de K-types, c’est-à-dire de représentations irréductibles
de K. Pour une fonction f sur ˜
G(R) et pour k ∈ K, notons λ k (f ), resp. ρ k (f ),
la fonction γ → f (k
−1 γ), resp. γ → f (γk). On dit que f se transforme à gauche,
resp. à droite selon Ω si la représentation de K dans l’ensemble de fonctions
{λ k (f ); k ∈ K}, resp. {ρ k (f ); k ∈ K}, se décompose en représentations irréductibles appartenant à Ω. On note C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) l’espace des fonctions qui se
transforment à droite et à gauche selon Ω. On note I( ˜
G(R), ω, Ω) son image dans
I( ˜
G(R), ω). L’espace C
∞
c ( ˜
G(R), K) est la réunion des C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) quand Ω parcourt tous les ensembles finis de K-types.
Soit (π, ˜
π) une ω-représentation telle que π soit irréductible ou, plus généralement telle que π soit de longueur finie et que toutes ses composantes irréductibles
aient un même paramètre infinitésimal. Notons μ ce paramètre, qui est une orbite
dans h
∗ pour l’action de W . On a vu en 1.2 que l’intersection (˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) ∩ μ
était une unique orbite sous l’action de W
θ . Notons-la ˜
μ(˜ π). Soient maintenant
˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω). A ˜
π est associée comme on vient de le dire une orbite
˜
μ(˜ π) ⊂ ˜
μ(ω) + h
θ,∗ pour l’action de W
L,θ . Notons ˜
μ(˜ π)
G l’orbite pour l’action de
W
θ engendrée par ˜
μ(˜ π). Appelons «type spectral» une orbite dans ˜
μ(ω)+h
θ,∗ pour
l’action de W
θ . Réalisons l’espace P W
∞ ( ˜
G, ω) en fixant des bases comme en 2.2.
Pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), on note B( ˜
L) la base fixée de D ell,0 ( ˜
L(R), ω). Pour un type spectral ˜
μ, définissons le sous-espace P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) des familles (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L)
appartenant à P W
∞ ( ˜
G, ω) vérifiant la condition suivante :
– pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ B( ˜
L), on a ϕ ˜
L,˜ π = 0 si ˜
μ(˜ π)
G
= ˜
μ.
Il est clair que P W ( ˜
G, ω) est la somme directe des P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) sur tous les
types spectraux ˜
μ (et P W
∞ ( ˜
G, ω) est le complété de cette somme). Plus généralement, pour un ensemble fini Ω
pw de types spectraux, notons P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) la
somme des P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) pour ˜
μ ∈ Ω
pw . Le théorème de Delorme et Mezo affirme
précisément que
(1) pour tout ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini Ω
pw de types
spectraux tel que pw ˜
G,ω (I( ˜
G(R), ω, Ω)) ⊂ P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) ;
(2) pour tout ensemble fini Ω
pw de types spectraux, il existe un ensemble fini Ω
de K-types tel que P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) ⊂ pw ˜
G,ω (I( ˜
G(R), ω, Ω).
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Corollaire. L’application transfert est bien le transfert endoscopique, c’est-à-dire
que, pour tout ˜
σ ∈ D
st
spec (G
) et tout f ∈ I( ˜
G(R), ω), on a l’égalité
I
˜
G (transfert(˜ σ), f) = S
G
(˜ σ, f
G
).
Remarque. Si l’on rétablit plus canoniquement les espaces de mesures, l’application transfert devient une application linéaire
transfert : D
st
spec (G
) ⊗ Mes(G
(R))
∗
→ D spec ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
IV.3.4 Transfert K-fini
Soit Ω un ensemble fini de K-types, c’est-à-dire de représentations irréductibles
de K. Pour une fonction f sur ˜
G(R) et pour k ∈ K, notons λ k (f ), resp. ρ k (f ),
la fonction γ → f (k
−1 γ), resp. γ → f (γk). On dit que f se transforme à gauche,
resp. à droite selon Ω si la représentation de K dans l’ensemble de fonctions
{λ k (f ); k ∈ K}, resp. {ρ k (f ); k ∈ K}, se décompose en représentations irréductibles appartenant à Ω. On note C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) l’espace des fonctions qui se
transforment à droite et à gauche selon Ω. On note I( ˜
G(R), ω, Ω) son image dans
I( ˜
G(R), ω). L’espace C
∞
c ( ˜
G(R), K) est la réunion des C
∞
c ( ˜
G(R), Ω) quand Ω parcourt tous les ensembles finis de K-types.
Soit (π, ˜
π) une ω-représentation telle que π soit irréductible ou, plus généralement telle que π soit de longueur finie et que toutes ses composantes irréductibles
aient un même paramètre infinitésimal. Notons μ ce paramètre, qui est une orbite
dans h
∗ pour l’action de W . On a vu en 1.2 que l’intersection (˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) ∩ μ
était une unique orbite sous l’action de W
θ . Notons-la ˜
μ(˜ π). Soient maintenant
˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω). A ˜
π est associée comme on vient de le dire une orbite
˜
μ(˜ π) ⊂ ˜
μ(ω) + h
θ,∗ pour l’action de W
L,θ . Notons ˜
μ(˜ π)
G l’orbite pour l’action de
W
θ engendrée par ˜
μ(˜ π). Appelons «type spectral» une orbite dans ˜
μ(ω)+h
θ,∗ pour
l’action de W
θ . Réalisons l’espace P W
∞ ( ˜
G, ω) en fixant des bases comme en 2.2.
Pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), on note B( ˜
L) la base fixée de D ell,0 ( ˜
L(R), ω). Pour un type spectral ˜
μ, définissons le sous-espace P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) des familles (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L)
appartenant à P W
∞ ( ˜
G, ω) vérifiant la condition suivante :
– pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ B( ˜
L), on a ϕ ˜
L,˜ π = 0 si ˜
μ(˜ π)
G
= ˜
μ.
Il est clair que P W ( ˜
G, ω) est la somme directe des P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) sur tous les
types spectraux ˜
μ (et P W
∞ ( ˜
G, ω) est le complété de cette somme). Plus généralement, pour un ensemble fini Ω
pw de types spectraux, notons P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) la
somme des P W ( ˜
G, ω, ˜
μ) pour ˜
μ ∈ Ω
pw . Le théorème de Delorme et Mezo affirme
précisément que
(1) pour tout ensemble fini Ω de K-types, il existe un ensemble fini Ω
pw de types
spectraux tel que pw ˜
G,ω (I( ˜
G(R), ω, Ω)) ⊂ P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) ;
(2) pour tout ensemble fini Ω
pw de types spectraux, il existe un ensemble fini Ω
de K-types tel que P W ( ˜
G, ω, Ω
pw ) ⊂ pw ˜
G,ω (I( ˜
G(R), ω, Ω).