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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Grâce à (5) et (6), cela entraîne
lim
X∈D;|X|→∞
(ϕ X ) = 0.
De nouveau, le lemme 2.7 montre que cette relation est contradictoire avec (2),
sauf si = 0. Cela démontre cette nullité et le théorème.
IV.3.3 Le transfert spectral
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour notre donnée endoscopique G
. On
a la variante du corollaire 2.8, avec des notations évidentes :
D
st
spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) =
⊕ ˜
L ∈L( ˜
M
0 ) Ind
˜
G
1
˜
L
1
(D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R)))
W
G
( ˜
M
0 )
.
Quand on fait varier les données auxiliaires, on a une petite difficulté. Soit ˜
L
∈
L( ˜
M
0 ). Deux cas se présentent.
Si ˜
L
est relevant pour ˜
G, les espaces D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R)) se recollent naturellement en un espace que l’on peut noter D
st
ell,C (L
). Si ˜
L
n’est pas relevant,
il n’y a pas de recollement intrinsèque (c’est-à-dire ne dépendant que de ˜
L
et
pas du groupe ambiant ˜
G
) entre ces espaces. Par contre, les espaces induits
Ind
˜
G
1
˜
L
1
(D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R))) se recollent. Cela ne nous gêne pas trop car il est clair que
les transferts à ˜
G(R) des éléments de ces espaces sont nuls. Notons L
˜
G ( ˜
M
0 ) le sousensemble des éléments de L( ˜
M
0 ) qui sont relevants pour ˜
G. Notons D
st, ˜
G−nul
spec
(G
)
la somme des images dans D
st
spec (G
) des espaces Ind
˜
G
1
˜
L
1
(D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R))) pour les
˜
L
∈ L( ˜
M
0 ) − L
˜
G ( ˜
M
0 ). On a alors
D
st
spec (G
) =
⊕ ˜
L ∈L
˜
G ( ˜
M
0 ) Ind
G
L (D
st
ell,C (L
))
W
G
( ˜
M
0 ) ⊕ D
st, ˜
G−nul
spec
(G
).
On définit une application linéaire, que par anticipation, on note
transfert : D
st
spec (G
) → D spec ( ˜
G(R), ω)
de la façon suivante. Elle est nulle sur D
st, ˜
G−nul
spec
(G
). Soit ˜
L
∈ L
˜
G ( ˜
M
0 ). On
peut identifier L
à une donnée endoscopique de (L, ˜
L, a), où ˜
L est un élément de
L( ˜
M 0 ). On a le transfert spectral elliptique, qui se prolonge en une application
linéaire D
st
ell,C (L
) → D ell,C ( ˜
L(R), ω). Par induction, on en déduit une application
linéaire
Ind
G
L (D
st
ell,C (L
)) → Ind
˜
G
˜
L
(D ell,C ( ˜
L(R), ω)).
Le dernier espace s’envoie naturellement dans D spec ( ˜
G(R), ω). Alors l’application
transfert coïncide sur Ind
G
L (D
st
ell,C (L
)) avec le composé des deux applications précédentes. Puisque le transfert commute à l’induction, le corollaire suivant résulte
immédiatement du théorème 3.2.
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Grâce à (5) et (6), cela entraîne
lim
X∈D;|X|→∞
(ϕ X ) = 0.
De nouveau, le lemme 2.7 montre que cette relation est contradictoire avec (2),
sauf si = 0. Cela démontre cette nullité et le théorème.
IV.3.3 Le transfert spectral
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour notre donnée endoscopique G
. On
a la variante du corollaire 2.8, avec des notations évidentes :
D
st
spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) =
⊕ ˜
L ∈L( ˜
M
0 ) Ind
˜
G
1
˜
L
1
(D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R)))
W
G
( ˜
M
0 )
.
Quand on fait varier les données auxiliaires, on a une petite difficulté. Soit ˜
L
∈
L( ˜
M
0 ). Deux cas se présentent.
Si ˜
L
est relevant pour ˜
G, les espaces D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R)) se recollent naturellement en un espace que l’on peut noter D
st
ell,C (L
). Si ˜
L
n’est pas relevant,
il n’y a pas de recollement intrinsèque (c’est-à-dire ne dépendant que de ˜
L
et
pas du groupe ambiant ˜
G
) entre ces espaces. Par contre, les espaces induits
Ind
˜
G
1
˜
L
1
(D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R))) se recollent. Cela ne nous gêne pas trop car il est clair que
les transferts à ˜
G(R) des éléments de ces espaces sont nuls. Notons L
˜
G ( ˜
M
0 ) le sousensemble des éléments de L( ˜
M
0 ) qui sont relevants pour ˜
G. Notons D
st, ˜
G−nul
spec
(G
)
la somme des images dans D
st
spec (G
) des espaces Ind
˜
G
1
˜
L
1
(D
st
ell,λ1,C ( ˜
L
1 (R))) pour les
˜
L
∈ L( ˜
M
0 ) − L
˜
G ( ˜
M
0 ). On a alors
D
st
spec (G
) =
⊕ ˜
L ∈L
˜
G ( ˜
M
0 ) Ind
G
L (D
st
ell,C (L
))
W
G
( ˜
M
0 ) ⊕ D
st, ˜
G−nul
spec
(G
).
On définit une application linéaire, que par anticipation, on note
transfert : D
st
spec (G
) → D spec ( ˜
G(R), ω)
de la façon suivante. Elle est nulle sur D
st, ˜
G−nul
spec
(G
). Soit ˜
L
∈ L
˜
G ( ˜
M
0 ). On
peut identifier L
à une donnée endoscopique de (L, ˜
L, a), où ˜
L est un élément de
L( ˜
M 0 ). On a le transfert spectral elliptique, qui se prolonge en une application
linéaire D
st
ell,C (L
) → D ell,C ( ˜
L(R), ω). Par induction, on en déduit une application
linéaire
Ind
G
L (D
st
ell,C (L
)) → Ind
˜
G
˜
L
(D ell,C ( ˜
L(R), ω)).
Le dernier espace s’envoie naturellement dans D spec ( ˜
G(R), ω). Alors l’application
transfert coïncide sur Ind
G
L (D
st
ell,C (L
)) avec le composé des deux applications précédentes. Puisque le transfert commute à l’induction, le corollaire suivant résulte
immédiatement du théorème 3.2.