IV.3. Transfert
459
On fixe ϕ ∈ F. Soit X ∈ A ˜
L . On définit la fonction ϕ X comme en 2.7. Pour
un domaine D comme dans ce paragraphe, la fonction ϕ X vérifie la condition
2.6(4) pour X ∈ D. Parce que ˜
τ est elliptique, donc supertempérée, le même
raisonnement qu’en 2.7 montre que
(6)
lim
X∈D;|X|→∞
I
˜
G (˜ τ , g ϕX ) = 0.
A l’aide des formules (3) et (4), on calcule aisément les intégrales orbitales stables
de la fonction g
G
ϕX . On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour G
, en supposant
pour simplifier que le caractère λ A G
1
de 2.1 est trivial. Soit ˜
L
un espace de Levi
de ˜
G
. Notons ˜
L
1 son image réciproque dans ˜
G
1 . Soit δ 1 ∈ ˜
L
1 (R) un élément ˜
Grégulier et elliptique dans ˜
L
1 (R). Il lui correspond un sous-ensemble de ˜
G(R) qui
est soit vide, soit une classe de conjugaison stable d’éléments fortement réguliers.
Si cet ensemble ne contient aucun élément elliptique de ˜
L(R), il résulte de (3) que
S
G
1
λ1 (δ 1 , g
˜
G
1
ϕX ) = 0.
Supposons qu’il corresponde à δ 1 un élément γ ∈ ˜
L(R) qui est elliptique. Cela
entraîne que les espaces A ˜
L et A ˜
L sont isomorphes et que H ˜
L (γ) = H ˜
L (δ) (cf.
2.1). Fixons un ensemble de représentants (γ j ) j=1,...,k des classes de conjugaison
par L(R) dans la classe de conjugaison stable de γ dans ˜
L(R). On sait que c’est
aussi un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans la
classe de conjugaison stable de γ dans ˜
G(R). De plus, H ˜
L (γ j ) = H ˜
L (γ) pour tout
j. On a alors
S
G
1
λ1 (δ 1 , g
˜
G
1
ϕX ) =
j=1,...,k
[Z G (γ j ; R) : G γj (R)]
−1 Δ 1 (δ 1 , γ j )
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ j )) − X)I
˜
L (γ j , ω, w
−1 (f [˜ π])).
Pour tout w ∈ W ( ˜
L), notons g w le transfert dans SI λ A,1 ,λ1 ( ˜
L
1 (R)) de la fonction
w
−1 (f [˜ π]) (les indices signifient qu’il s’agit de fonctions se transformant selon le
caractère λ 1 de C 1 (R) et selon le caractère λ A,1 de A ˜
L
1
, cf. 2.1 pour la définition
de ce caractère). On obtient l’égalité
S
G
1
λ1 (δ 1 , g
˜
G
1
ϕX ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (δ)) − X)S
˜
G
1
λ1 (δ 1 , g w ).
A l’aide de ces formules, on peut adapter la preuve de 2.7 : le fait que ˜
σ soit
supertempéré entraîne que
lim
X∈D;|X|→∞
S
G
(˜ σ, g
G
ϕX ) = 0.
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On fixe ϕ ∈ F. Soit X ∈ A ˜
L . On définit la fonction ϕ X comme en 2.7. Pour
un domaine D comme dans ce paragraphe, la fonction ϕ X vérifie la condition
2.6(4) pour X ∈ D. Parce que ˜
τ est elliptique, donc supertempérée, le même
raisonnement qu’en 2.7 montre que
(6)
lim
X∈D;|X|→∞
I
˜
G (˜ τ , g ϕX ) = 0.
A l’aide des formules (3) et (4), on calcule aisément les intégrales orbitales stables
de la fonction g
G
ϕX . On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour G
, en supposant
pour simplifier que le caractère λ A G
1
de 2.1 est trivial. Soit ˜
L
un espace de Levi
de ˜
G
. Notons ˜
L
1 son image réciproque dans ˜
G
1 . Soit δ 1 ∈ ˜
L
1 (R) un élément ˜
Grégulier et elliptique dans ˜
L
1 (R). Il lui correspond un sous-ensemble de ˜
G(R) qui
est soit vide, soit une classe de conjugaison stable d’éléments fortement réguliers.
Si cet ensemble ne contient aucun élément elliptique de ˜
L(R), il résulte de (3) que
S
G
1
λ1 (δ 1 , g
˜
G
1
ϕX ) = 0.
Supposons qu’il corresponde à δ 1 un élément γ ∈ ˜
L(R) qui est elliptique. Cela
entraîne que les espaces A ˜
L et A ˜
L sont isomorphes et que H ˜
L (γ) = H ˜
L (δ) (cf.
2.1). Fixons un ensemble de représentants (γ j ) j=1,...,k des classes de conjugaison
par L(R) dans la classe de conjugaison stable de γ dans ˜
L(R). On sait que c’est
aussi un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans la
classe de conjugaison stable de γ dans ˜
G(R). De plus, H ˜
L (γ j ) = H ˜
L (γ) pour tout
j. On a alors
S
G
1
λ1 (δ 1 , g
˜
G
1
ϕX ) =
j=1,...,k
[Z G (γ j ; R) : G γj (R)]
−1 Δ 1 (δ 1 , γ j )
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ j )) − X)I
˜
L (γ j , ω, w
−1 (f [˜ π])).
Pour tout w ∈ W ( ˜
L), notons g w le transfert dans SI λ A,1 ,λ1 ( ˜
L
1 (R)) de la fonction
w
−1 (f [˜ π]) (les indices signifient qu’il s’agit de fonctions se transformant selon le
caractère λ 1 de C 1 (R) et selon le caractère λ A,1 de A ˜
L
1
, cf. 2.1 pour la définition
de ce caractère). On obtient l’égalité
S
G
1
λ1 (δ 1 , g
˜
G
1
ϕX ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (δ)) − X)S
˜
G
1
λ1 (δ 1 , g w ).
A l’aide de ces formules, on peut adapter la preuve de 2.7 : le fait que ˜
σ soit
supertempéré entraîne que
lim
X∈D;|X|→∞
S
G
(˜ σ, g
G
ϕX ) = 0.