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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
˜
μ(ω) + h
θ,∗ . On note simplement μ ˜
σ la W -orbite qu’elle engendre dans h
∗ . Le
lemme 2.1 entraîne que l’on a l’égalité
(zϕ) = z(μ ˜
σ )(ϕ)
pour tout ϕ ∈ F et z ∈ Z(G). Le lemme 2.5 a de nouveau les conséquences
suivantes :
(1) si (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ ˜
σ = ∅, alors = 0.
Dans ce cas, on a fini. Supposons au contraire que (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ ˜
σ = ∅.
Alors
(2) il y a un nombre fini de points λ i ∈ A
∗
˜
L,C
, pour i = 1, . . . , m, et, pour tout i,
un opérateur différentiel D i de sorte que
(ϕ) =
i=1,...,m
(D i ϕ)(λ i ).
Soit ϕ ∈ F. On introduit comme en 2.6 une fonction f
˜
L
ϕ ∈ I cusp ( ˜
L(R), ω).
Supposons que le support de cette fonction vérifie la condition 2.6(4). On construit
alors l’élément g ϕ ∈ I( ˜
G(R), ω) qui vérifie des égalités analogues à 2.6(5) et (6).
Précisément, pour un espace de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et un élément γ ∈ ˜
M (R) elliptique dans ˜
M (R) et fortement régulier dans ˜
G(R), on a
(3) si ˜
M n’est pas conjugué à ˜
L, I
˜
G (γ, ω, g ϕ ) = 0 ;
(4) si ˜
M = ˜
L,
I
˜
G (γ, ω, g ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (γ, ω, w
−1 (f [˜ π])).
L’image g ϕ est somme de f ϕ et de termes g ϕ,n , pour n = a ˜
G , . . . , a ˜
L − 1, où
pw(g ϕ,n ) appartient à
(⊕ ˜
M∈L( ˜
M0);a ˜
M =n P W
∞
ell ( ˜
M , ω))
W ( ˜
M0)
Parce que l’application f → S
G
(˜ σ, f ) est continue, l’hypothèse de récurrence nous
dit que S
G
(˜ σ, g
G
ϕ,n ) = 0 pour tout n = a ˜
G + 1, . . . , a ˜
L − 1. En posant simplement
g ϕ,ell = g ϕ,a ˜
G
, on obtient
(5)
(ϕ) = S
G
(˜ σ, f
G
ϕ ) = S
G
(˜ σ, g
G
ϕ ) − S
G
(˜ σ, g
G
ϕ,ell ).
Puisque g ϕ,ell est cuspidale, la définition du transfert spectral elliptique nous permet de récrire
(ϕ) = S
G
(˜ σ, g
G
ϕ ) − I
˜
G (˜ τ , g ϕ,ell ) = S
G
(˜ σ, g
G
ϕ ) − I
˜
G (˜ τ , g ϕ ).