IV.3. Transfert
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est elle-même Z(G)-finie. On a défini l’espace D
st
ell,0 (G
) de sorte que cette forme
linéaire se factorise en une forme linéaire sur I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω), cf. 2.1(2). Il existe
donc un élément ˜
τ ∈ D ell,0 ( ˜
G(R), ω), nécessairement unique, tel que
I
˜
G (˜ τ , f ) = S
G
(˜ σ, f
G
)
pour tout f ∈ I cusp ( ˜
G(R), ω). Plus généralement, pour ˜
σ comme ci-dessus et pour
λ ∈ A
∗
˜
G ,C
A
∗
˜
G,C
, on a
I
˜
G (˜ τ λ , f) = S
G
(˜ σ λ , f
G
)
pour tout f ∈ I cusp ( ˜
G(R), ω). En précisant le raisonnement ci-dessus, on voit
qu’avec les définitions de 2.1, on a l’inclusion μ(˜ σ λ ) ⊂ μ(˜ τ λ ) ∩ (˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) (le
premier ensemble est une orbite pour l’action de W
G
, le second une orbite pour
l’action de W
θ ).
On appelle transfert spectral elliptique l’application linéaire
D
st
ell (G
) → D ell ( ˜
G(R), ω)
˜
σ λ
→
˜
τ λ
où ici, λ appartient à iA
∗
˜
G
.
IV.3.2 Le théorème
Les données sont les mêmes que dans le paragraphe précédent.
Théorème. Soit ˜
σ ∈ D
st
ell (G
), notons ˜
τ ∈ D ell ( ˜
G(R), ω) son transfert spectral
elliptique. Alors ˜
τ est le transfert de ˜
σ, c’est-à-dire que l’on a l’égalité
I
˜
G (˜ τ , f ) = S
G
(˜ σ, f
G
)
pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω).
Preuve. Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), on fixe une base orthonormée B( ˜
L) de D ell,0 ( ˜
L, ω)
et on réalise l’espace P W
∞
ell ( ˜
L, ω) à l’aide de cette base. Les deux membres de
l’égalité de l’énoncé sont continus en f . Grâce au théorème de Paley–Wiener, il
suffit de fixer ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ B( ˜
L) et de prouver que cette égalité est vérifiée
pour f ∈ pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L, ω)), où on utilise les mêmes notations qu’en 2.4.
C’est vrai par définition du transfert spectral elliptique si ˜
L = ˜
G. On suppose donc
˜
L = ˜
G et on raisonne par récurrence sur a ˜
L . Puisque ˜
τ est elliptique et ˜
L = ˜
G, on
a I
˜
G (˜ τ , f ) = 0 pour tout f ∈ pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L, ω)). Il s’agit de prouver que
l’on a aussi S
G
(˜ σ, f
G
) = 0. On utilise les mêmes notations qu’en 2.4 : on note
F = P W ˜
π ( ˜
L, ω) et f ϕ = pw
−1
◦ sym
W (ϕ) pour ϕ ∈ F. On définit l’application
linéaire sur F par (ϕ) = S
G
(˜ σ, (f ϕ )
G
). On a défini la W
G
-orbite μ(˜ σ) dans
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est elle-même Z(G)-finie. On a défini l’espace D
st
ell,0 (G
) de sorte que cette forme
linéaire se factorise en une forme linéaire sur I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω), cf. 2.1(2). Il existe
donc un élément ˜
τ ∈ D ell,0 ( ˜
G(R), ω), nécessairement unique, tel que
I
˜
G (˜ τ , f ) = S
G
(˜ σ, f
G
)
pour tout f ∈ I cusp ( ˜
G(R), ω). Plus généralement, pour ˜
σ comme ci-dessus et pour
λ ∈ A
∗
˜
G ,C
A
∗
˜
G,C
, on a
I
˜
G (˜ τ λ , f) = S
G
(˜ σ λ , f
G
)
pour tout f ∈ I cusp ( ˜
G(R), ω). En précisant le raisonnement ci-dessus, on voit
qu’avec les définitions de 2.1, on a l’inclusion μ(˜ σ λ ) ⊂ μ(˜ τ λ ) ∩ (˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) (le
premier ensemble est une orbite pour l’action de W
G
, le second une orbite pour
l’action de W
θ ).
On appelle transfert spectral elliptique l’application linéaire
D
st
ell (G
) → D ell ( ˜
G(R), ω)
˜
σ λ
→
˜
τ λ
où ici, λ appartient à iA
∗
˜
G
.
IV.3.2 Le théorème
Les données sont les mêmes que dans le paragraphe précédent.
Théorème. Soit ˜
σ ∈ D
st
ell (G
), notons ˜
τ ∈ D ell ( ˜
G(R), ω) son transfert spectral
elliptique. Alors ˜
τ est le transfert de ˜
σ, c’est-à-dire que l’on a l’égalité
I
˜
G (˜ τ , f ) = S
G
(˜ σ, f
G
)
pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω).
Preuve. Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), on fixe une base orthonormée B( ˜
L) de D ell,0 ( ˜
L, ω)
et on réalise l’espace P W
∞
ell ( ˜
L, ω) à l’aide de cette base. Les deux membres de
l’égalité de l’énoncé sont continus en f . Grâce au théorème de Paley–Wiener, il
suffit de fixer ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et ˜
π ∈ B( ˜
L) et de prouver que cette égalité est vérifiée
pour f ∈ pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L, ω)), où on utilise les mêmes notations qu’en 2.4.
C’est vrai par définition du transfert spectral elliptique si ˜
L = ˜
G. On suppose donc
˜
L = ˜
G et on raisonne par récurrence sur a ˜
L . Puisque ˜
τ est elliptique et ˜
L = ˜
G, on
a I
˜
G (˜ τ , f ) = 0 pour tout f ∈ pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L, ω)). Il s’agit de prouver que
l’on a aussi S
G
(˜ σ, f
G
) = 0. On utilise les mêmes notations qu’en 2.4 : on note
F = P W ˜
π ( ˜
L, ω) et f ϕ = pw
−1
◦ sym
W (ϕ) pour ϕ ∈ F. On définit l’application
linéaire sur F par (ϕ) = S
G
(˜ σ, (f ϕ )
G
). On a défini la W
G
-orbite μ(˜ σ) dans