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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
distincts et q i (X 0 ) = 0 pour tout i. La restriction f D de f à la droite D passant
par X 0 est alors un polynôme exponentiel non nul qui vérifie lim |X|→∞ f D (X) = 0.
Cette construction nous ramène au cas où V est une droite, auquel cas l’assertion
est un simple exercice que l’on laisse au lecteur.
IV.2.8 L’espace D
st
spec ( ˜
G(R))
On note D
st
spec ( ˜
G(R)) le sous-espace des éléments de D spec ( ˜
G(R)) qui sont des
distributions stables, c’est-à-dire qui annulent I
inst ( ˜
G(R)). Le corollaire suivant
résulte immédiatement du théorème 2.3 et des relations 1.2(2) et 2.4(2).
Corollaire. On a l’égalité D
st
spec ( ˜
G(R)) =
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) Ind
˜
G
˜
L
(D
st
ell,C ( ˜
L(R)))
W ( ˜
M0)
.
IV.2.9 L’espace SI( ˜
G(R), K)
On note SI( ˜
G(R), K) l’image de C
∞
c ( ˜
G(R), K) dans SI( ˜
G(R), K). On fixe des
bases B( ˜
L) comme en 2.4. On note P W
st ( ˜
G) le sous-espace de P W
∞,st ( ˜
G) formé
des familles (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) telles que l’ensemble des ( ˜
L, ˜
π) pour lesquels
ϕ ˜
L,˜ π = 0 est fini.
Corollaire. L’application pw
st se restreint en un isomorphisme de SI( ˜
G(R), K)
sur P W
st ( ˜
G).
Preuve. D’après le théorème de Delorme et Mezo, C
∞
c ( ˜
G(R), K) s’envoie par pw
sur P W ( ˜
G). La projection dans P W
∞,st ( ˜
G) de cet espace est égale à P W
st ( ˜
G).
Donc pw
st se restreint en une surjection de SI( ˜
G(R), K) sur P W
st ( ˜
G). Cette
restriction est évidemment injective puisque pw
st l’est.
IV.3 Transfert
IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique
On revient au cas où (G, ˜
G, ω) est quelconque. Comme on l’a dit en 2.2, on fixe
des mesures de Haar sur tous les groupes qui apparaissent. Soit G
= (G
, G
, ˜
s)
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (G, ˜
G, ω). Shelstad a prouvé
l’existence du transfert
I( ˜
G(R), ω) → SI(G
)
f
→
f
G
cf. [74]. Il envoie I cusp ( ˜
G(R), ω) dans SI cusp (G
). Soit ˜
σ ∈ D
st
ell,0 (G
), cf. 2.1.
Considérons l’application linéaire sur I cusp ( ˜
G(R), ω) définie par f → S
G
(˜ σ, f
G
).
Le lemme 2.1 et le fait que ˜
σ est Z(G
)-finie implique que cette forme linéaire
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
distincts et q i (X 0 ) = 0 pour tout i. La restriction f D de f à la droite D passant
par X 0 est alors un polynôme exponentiel non nul qui vérifie lim |X|→∞ f D (X) = 0.
Cette construction nous ramène au cas où V est une droite, auquel cas l’assertion
est un simple exercice que l’on laisse au lecteur.
IV.2.8 L’espace D
st
spec ( ˜
G(R))
On note D
st
spec ( ˜
G(R)) le sous-espace des éléments de D spec ( ˜
G(R)) qui sont des
distributions stables, c’est-à-dire qui annulent I
inst ( ˜
G(R)). Le corollaire suivant
résulte immédiatement du théorème 2.3 et des relations 1.2(2) et 2.4(2).
Corollaire. On a l’égalité D
st
spec ( ˜
G(R)) =
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) Ind
˜
G
˜
L
(D
st
ell,C ( ˜
L(R)))
W ( ˜
M0)
.
IV.2.9 L’espace SI( ˜
G(R), K)
On note SI( ˜
G(R), K) l’image de C
∞
c ( ˜
G(R), K) dans SI( ˜
G(R), K). On fixe des
bases B( ˜
L) comme en 2.4. On note P W
st ( ˜
G) le sous-espace de P W
∞,st ( ˜
G) formé
des familles (ϕ ˜
L,˜ π ) ˜
L∈L( ˜
M0),˜ π∈B( ˜
L) telles que l’ensemble des ( ˜
L, ˜
π) pour lesquels
ϕ ˜
L,˜ π = 0 est fini.
Corollaire. L’application pw
st se restreint en un isomorphisme de SI( ˜
G(R), K)
sur P W
st ( ˜
G).
Preuve. D’après le théorème de Delorme et Mezo, C
∞
c ( ˜
G(R), K) s’envoie par pw
sur P W ( ˜
G). La projection dans P W
∞,st ( ˜
G) de cet espace est égale à P W
st ( ˜
G).
Donc pw
st se restreint en une surjection de SI( ˜
G(R), K) sur P W
st ( ˜
G). Cette
restriction est évidemment injective puisque pw
st l’est.
IV.3 Transfert
IV.3.1 Définition d’un transfert spectral elliptique
On revient au cas où (G, ˜
G, ω) est quelconque. Comme on l’a dit en 2.2, on fixe
des mesures de Haar sur tous les groupes qui apparaissent. Soit G
= (G
, G
, ˜
s)
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (G, ˜
G, ω). Shelstad a prouvé
l’existence du transfert
I( ˜
G(R), ω) → SI(G
)
f
→
f
G
cf. [74]. Il envoie I cusp ( ˜
G(R), ω) dans SI cusp (G
). Soit ˜
σ ∈ D
st
ell,0 (G
), cf. 2.1.
Considérons l’application linéaire sur I cusp ( ˜
G(R), ω) définie par f → S
G
(˜ σ, f
G
).
Le lemme 2.1 et le fait que ˜
σ est Z(G
)-finie implique que cette forme linéaire