IV.2. Stabilité
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à ˜
P et C ˜
P ⊂ A ˜
L la chambre positive associée à ˜
P . Supposons X ∈ D ∩ C ˜
P . On
peut appliquer la formule (8) du paragraphe précédent, qui, par changement de
variable H → H + X, nous donne
(3)
(ϕ X ) = − c|W ( ˜
L)|
˜
T (R) 1
A ˜
L
D
˜
G (exp(H + X)γ
1 )
1/2
Θ ˜
σ (exp(H + X)γ
1 )φ(H)I
˜
L (γ
1 , f[˜ π]) dH dγ
1 .
Puisque φ est à support compact, on a H + X ∈ C ˜
P si φ(H) = 0, pourvu
que C soit assez grand. On sait que l’on peut alors développer D
˜
G (exp(H +
X)γ
1 )
1/2 Θ ˜
σ (exp(H + X)γ
1 ) comme somme finie
j=1,...,k
r j (H + X)e
H+X,νj Θ j (γ
1 ),
où les r j sont des polynômes, les ν j sont des éléments de A
∗
˜
L,C
et les Θ j sont des
fonctions bornées sur ˜
T (R)
1 , C
∞ sur le sous-ensemble des éléments réguliers. On
se rappelle que ˜
σ = ˜
σ 0,λ0 , où ˜
λ 0 ∈ iA
∗
˜
G
et ˜
σ 0 est une représentation elliptique. Il
est prouvé dans [XI] que ˜
σ 0 est supertempérée. Il en résulte que les Re(ν j ) sont
des combinaisons linéaires à coefficients négatifs ou nuls des éléments de Δ ˜
P , l’un
au moins des coefficients étant strictement négatif. Il résulte alors de la formule
(3) que lim X∈D∩C ˜
P ,|X|→∞ (ϕ X ) = 0. Cela étant vrai pour tout ˜
P , on a plus
simplement lim X∈D,|X|→∞ (ϕ X ) = 0. Mais il résulte de 2.5(5) et de la définition
de ϕ X que (ϕ X ) est un polynôme exponentiel en X, c’est-à-dire que
(ϕ X ) =
i=1,...,m
q i (X)e
X,λi ,
pour des éléments λ i de A
∗
˜
L,C
et des polynômes q i . Notons que cette égalité est cette
fois vraie pour tout X. Le lemme ci-dessous (appliqué à l’ouvert U des éléments
de A ˜
L qui vérifient (2)) entraîne que ce polynôme exponentiel est identiquement
nul. En particulier, pour X = 0, (ϕ) = 0. Cela achève la preuve de la proposition
2.4 et du théorème 2.3.
Lemme. Soit V un espace euclidien (de dimension finie), soit U un ouvert de
V invariant par multiplication par R
× et soit f un polynôme exponentiel sur V .
Supposons lim X∈U,|X|→∞ f (X) = 0. Alors f = 0.
Preuve. On écrit comme ci-dessus
f (X) =
i=1,...,m
q i (X)e
X,λi
où les λ i sont distincts et les q i sont non nuls. Si f n’est pas nul (i.e. m ≥ 1), on peut
trouver un élément X 0 = 0 de U tel que les produits X 0 , λ i soient deux-à-deux
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à ˜
P et C ˜
P ⊂ A ˜
L la chambre positive associée à ˜
P . Supposons X ∈ D ∩ C ˜
P . On
peut appliquer la formule (8) du paragraphe précédent, qui, par changement de
variable H → H + X, nous donne
(3)
(ϕ X ) = − c|W ( ˜
L)|
˜
T (R) 1
A ˜
L
D
˜
G (exp(H + X)γ
1 )
1/2
Θ ˜
σ (exp(H + X)γ
1 )φ(H)I
˜
L (γ
1 , f[˜ π]) dH dγ
1 .
Puisque φ est à support compact, on a H + X ∈ C ˜
P si φ(H) = 0, pourvu
que C soit assez grand. On sait que l’on peut alors développer D
˜
G (exp(H +
X)γ
1 )
1/2 Θ ˜
σ (exp(H + X)γ
1 ) comme somme finie
j=1,...,k
r j (H + X)e
H+X,νj Θ j (γ
1 ),
où les r j sont des polynômes, les ν j sont des éléments de A
∗
˜
L,C
et les Θ j sont des
fonctions bornées sur ˜
T (R)
1 , C
∞ sur le sous-ensemble des éléments réguliers. On
se rappelle que ˜
σ = ˜
σ 0,λ0 , où ˜
λ 0 ∈ iA
∗
˜
G
et ˜
σ 0 est une représentation elliptique. Il
est prouvé dans [XI] que ˜
σ 0 est supertempérée. Il en résulte que les Re(ν j ) sont
des combinaisons linéaires à coefficients négatifs ou nuls des éléments de Δ ˜
P , l’un
au moins des coefficients étant strictement négatif. Il résulte alors de la formule
(3) que lim X∈D∩C ˜
P ,|X|→∞ (ϕ X ) = 0. Cela étant vrai pour tout ˜
P , on a plus
simplement lim X∈D,|X|→∞ (ϕ X ) = 0. Mais il résulte de 2.5(5) et de la définition
de ϕ X que (ϕ X ) est un polynôme exponentiel en X, c’est-à-dire que
(ϕ X ) =
i=1,...,m
q i (X)e
X,λi ,
pour des éléments λ i de A
∗
˜
L,C
et des polynômes q i . Notons que cette égalité est cette
fois vraie pour tout X. Le lemme ci-dessous (appliqué à l’ouvert U des éléments
de A ˜
L qui vérifient (2)) entraîne que ce polynôme exponentiel est identiquement
nul. En particulier, pour X = 0, (ϕ) = 0. Cela achève la preuve de la proposition
2.4 et du théorème 2.3.
Lemme. Soit V un espace euclidien (de dimension finie), soit U un ouvert de
V invariant par multiplication par R
× et soit f un polynôme exponentiel sur V .
Supposons lim X∈U,|X|→∞ f (X) = 0. Alors f = 0.
Preuve. On écrit comme ci-dessus
f (X) =
i=1,...,m
q i (X)e
X,λi
où les λ i sont distincts et les q i sont non nuls. Si f n’est pas nul (i.e. m ≥ 1), on peut
trouver un élément X 0 = 0 de U tel que les produits X 0 , λ i soient deux-à-deux