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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
En se rappelant la définition de f
st
ϕ , on obtient f
st
ϕ = −g
st
ϕ . Alors
(ϕ) = I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ) = −I
˜
G (˜ σ, g
st
ϕ ) = −I
˜
G (˜ σ, g ϕ ),
la dernière égalité résultant de la définition de g
st
ϕ . Comme on sait, le caractère
de ˜
σ est donné par une fonction localement intégrable Θ ˜
σ sur ˜
G(R). Notons ˜
T
un tore tordu maximal elliptique de ˜
L (l’existence de ˜
π ∈ D ell,0 ( ˜
L(R)) implique
l’existence d’un tel tore). Parce que l’on est dans une situation à torsion intérieure,
on sait qu’il n’y en a qu’un, à conjugaison près par L(R) et on peut supposer que
tout élément de W ( ˜
L) conserve ce tore tordu. L’égalité précédente et les relations
(5) et (6) entraînent l’égalité
(ϕ) = −c
w∈W ( ˜
L)
˜
T (R)
D
˜
G (γ)
1/2 Θ ˜
σ (γ)φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (wγ, f [˜ π]) dγ,
la constante c > 0 ne dépendant que des mesures. Puisque Θ ˜
σ est invariant par
W ( ˜
M 0 ), cette expression se simplifie d’ailleurs en
(ϕ) = −c|W ( ˜
L)|
˜
T (R)
D
˜
G (γ)
1/2 Θ ˜
σ (γ)φ(H ˜
L (γ))I
˜
L (γ, f [˜ π]) dγ.
En se rappelant la décomposition ˜
L(R) = A ˜
L × ˜
L(R)
1 et en posant ˜
T (R)
1 =
˜
T (R) ∩ ˜
L(R)
1 , on obtient
(8)
(ϕ) = − c|W ( ˜
L)|
˜
T (R) 1
A ˜
L
D
˜
G (exp(H)γ
1 )
1/2
Θ ˜
σ (exp(H)γ
1 )φ(H)I
˜
L (γ
1 , f[˜ π]) dH dγ
1 .
IV.2.7 Utilisation de la propriété :
une représentation elliptique est supertempérée
Fixons ϕ ∈ F. Pour X ∈ A ˜
L , définissons la fonction ϕ X ∈ F par ϕ X (λ) =
e
X,λ ϕ(λ) pour tout λ ∈ A
∗
˜
L,C
. Si φ, resp. φ X , est la fonction sur A ˜
L dont la
transformée de Fourier est la restriction de ϕ, resp. ϕ X , à iA
∗
˜
L
, on a φ X (H) =
φ(H −X). Donc, ϕ étant fixé, la fonction f ϕX vérifie l’hypothèse (4) du paragraphe
précédent pour tout X assez grand. Fixons un réel > 0 assez petit et un réel
C > 0. On suppose que C est assez grand, cette notion étant précisée au cours de
la suite de la démonstration. Considérons le domaine D des X ∈ A ˜
L qui vérifient
les deux conditions
(1) |X| > C ;
(2) pour tout α ∈ Σ(A ˜
L ), |α(X)| > >|X|.
On suppose C assez grand pour que f ϕX vérifie l’hypothèse (4) du paragraphe
précédent pour tout X ∈ D. Soit ˜
P ∈ P( ˜
L), notons Δ ˜
P la base de Σ(A ˜
L ) associée
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
En se rappelant la définition de f
st
ϕ , on obtient f
st
ϕ = −g
st
ϕ . Alors
(ϕ) = I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ) = −I
˜
G (˜ σ, g
st
ϕ ) = −I
˜
G (˜ σ, g ϕ ),
la dernière égalité résultant de la définition de g
st
ϕ . Comme on sait, le caractère
de ˜
σ est donné par une fonction localement intégrable Θ ˜
σ sur ˜
G(R). Notons ˜
T
un tore tordu maximal elliptique de ˜
L (l’existence de ˜
π ∈ D ell,0 ( ˜
L(R)) implique
l’existence d’un tel tore). Parce que l’on est dans une situation à torsion intérieure,
on sait qu’il n’y en a qu’un, à conjugaison près par L(R) et on peut supposer que
tout élément de W ( ˜
L) conserve ce tore tordu. L’égalité précédente et les relations
(5) et (6) entraînent l’égalité
(ϕ) = −c
w∈W ( ˜
L)
˜
T (R)
D
˜
G (γ)
1/2 Θ ˜
σ (γ)φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (wγ, f [˜ π]) dγ,
la constante c > 0 ne dépendant que des mesures. Puisque Θ ˜
σ est invariant par
W ( ˜
M 0 ), cette expression se simplifie d’ailleurs en
(ϕ) = −c|W ( ˜
L)|
˜
T (R)
D
˜
G (γ)
1/2 Θ ˜
σ (γ)φ(H ˜
L (γ))I
˜
L (γ, f [˜ π]) dγ.
En se rappelant la décomposition ˜
L(R) = A ˜
L × ˜
L(R)
1 et en posant ˜
T (R)
1 =
˜
T (R) ∩ ˜
L(R)
1 , on obtient
(8)
(ϕ) = − c|W ( ˜
L)|
˜
T (R) 1
A ˜
L
D
˜
G (exp(H)γ
1 )
1/2
Θ ˜
σ (exp(H)γ
1 )φ(H)I
˜
L (γ
1 , f[˜ π]) dH dγ
1 .
IV.2.7 Utilisation de la propriété :
une représentation elliptique est supertempérée
Fixons ϕ ∈ F. Pour X ∈ A ˜
L , définissons la fonction ϕ X ∈ F par ϕ X (λ) =
e
X,λ ϕ(λ) pour tout λ ∈ A
∗
˜
L,C
. Si φ, resp. φ X , est la fonction sur A ˜
L dont la
transformée de Fourier est la restriction de ϕ, resp. ϕ X , à iA
∗
˜
L
, on a φ X (H) =
φ(H −X). Donc, ϕ étant fixé, la fonction f ϕX vérifie l’hypothèse (4) du paragraphe
précédent pour tout X assez grand. Fixons un réel > 0 assez petit et un réel
C > 0. On suppose que C est assez grand, cette notion étant précisée au cours de
la suite de la démonstration. Considérons le domaine D des X ∈ A ˜
L qui vérifient
les deux conditions
(1) |X| > C ;
(2) pour tout α ∈ Σ(A ˜
L ), |α(X)| > >|X|.
On suppose C assez grand pour que f ϕX vérifie l’hypothèse (4) du paragraphe
précédent pour tout X ∈ D. Soit ˜
P ∈ P( ˜
L), notons Δ ˜
P la base de Σ(A ˜
L ) associée