IV.2. Stabilité
453
Supposons que
(4) le support de f
˜
L
ϕ soit formé d’éléments γ ∈ ˜
L(R) qui sont ˜
G-équisinguliers,
c’est-à-dire tels que L γ = G γ .
Dans ce cas, on peut trouver un voisinage compact U 1 dans ˜
G(R) de ce
support et un voisinage compact U 2 de U 1 tels que tout élément de U 2 soit conjugué
par G(R) à un élément de ˜
L(R). On peut trouver une fonction h sur ˜
G(R) qui
est invariante par conjugaison par G(R), qui vaut 1 sur U 1 et qui vaut 0 sur tout
élément γ ∈ ˜
G(R) qui n’est pas conjugué à un élément de U 2 . Posons g ϕ = hf ϕ .
Cette fonction vérifie des propriétés analogues à (2) et (3). La propriété de h
entraîne que l’on a aussi I
˜
G (γ, g ϕ ) = 0 pour ˜
M et γ comme plus haut, si a ˜
M < a ˜
L .
En définitive, pour un espace de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et pour un élément γ ∈ ˜
M (R)
elliptique dans ˜
M (R) et fortement régulier dans ˜
G(R), on a les égalités suivantes
(5) si ˜
M n’est pas conjugué à ˜
L, I
˜
G (γ, g ϕ ) = 0 ;
(6) si ˜
M = ˜
L,
I
˜
G (γ, g ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (wγ, f [˜ π]).
De ces formules et de l’instabilité de ˜
π résulte que g ϕ ∈ I
inst ( ˜
G(R)). De la
comparaison de (2) et (3) d’une part, de (5) et (6) d’autre part, résulte que, pour
tout n ≥ a ˜
L , les composantes dans
(7)
(⊕ ˜
M ∈L( ˜
M0);a ˜
M =n P W
∞
ell ( ˜
M ))
W ( ˜
M0)
de pw(g ϕ ) et de pw(f ϕ ) sont égales. Elles sont donc nulles si n > a ˜
L et égales à
sym
W (ϕ) si n = a ˜
L . Supposons a ˜
G < n < a ˜
L . On peut admettre le théorème 2.3
par récurrence pour les ˜
M tels que a ˜
M = n. C’est-à-dire que ˜
π
est stable pour
tout ˜
π
∈ B
st ( ˜
M ). L’instabilité de g ϕ implique alors que la composante de pw(g ϕ )
dans l’espace (7) appartient au sous-espace
(⊕ ˜
M ∈L( ˜
M0);a ˜
M =n P W
∞,inst
ell
( ˜
M ))
W ( ˜
M0) .
On a posé une hypothèse de récurrence au début de la preuve de la proposition 2.4.
Elle nous dit que l’image par pw
−1 de l’espace ci-dessus est inclus dans I
inst ( ˜
G(R).
Reste le cas où n = a ˜
G . L’espace (7) se réduit à P W
∞
ell ( ˜
G), que l’on peut décomposer en P W
∞,st
ell ( ˜
G) ⊕ P W
∞,inst
ell
( ˜
G). On note pw
st
ell (g ϕ ) et pw
inst
ell (g ϕ ) les projections
de pw(g ϕ ) dans chacun de ces sous-espaces. Le lemme 2.2 nous dit que pw
st
ell (g ϕ )
appartient à I
st
cusp ( ˜
G(R)) tandis que pw
inst
ell (g ϕ ) appartient à I
inst
cusp ( ˜
G(R). Posons
g
st
ϕ = pw
−1 (pw
st
ell (g ϕ )). Cela prouve que
g ϕ ∈ f ϕ + g
st
ϕ + I
inst ( ˜
G(R)).
Puisque g ϕ appartient elle-même à I
inst ( ˜
G(R)), on obtient
f ϕ + g
st
ϕ ∈ I
inst ( ˜
G(R)).
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Supposons que
(4) le support de f
˜
L
ϕ soit formé d’éléments γ ∈ ˜
L(R) qui sont ˜
G-équisinguliers,
c’est-à-dire tels que L γ = G γ .
Dans ce cas, on peut trouver un voisinage compact U 1 dans ˜
G(R) de ce
support et un voisinage compact U 2 de U 1 tels que tout élément de U 2 soit conjugué
par G(R) à un élément de ˜
L(R). On peut trouver une fonction h sur ˜
G(R) qui
est invariante par conjugaison par G(R), qui vaut 1 sur U 1 et qui vaut 0 sur tout
élément γ ∈ ˜
G(R) qui n’est pas conjugué à un élément de U 2 . Posons g ϕ = hf ϕ .
Cette fonction vérifie des propriétés analogues à (2) et (3). La propriété de h
entraîne que l’on a aussi I
˜
G (γ, g ϕ ) = 0 pour ˜
M et γ comme plus haut, si a ˜
M < a ˜
L .
En définitive, pour un espace de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) et pour un élément γ ∈ ˜
M (R)
elliptique dans ˜
M (R) et fortement régulier dans ˜
G(R), on a les égalités suivantes
(5) si ˜
M n’est pas conjugué à ˜
L, I
˜
G (γ, g ϕ ) = 0 ;
(6) si ˜
M = ˜
L,
I
˜
G (γ, g ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (wγ, f [˜ π]).
De ces formules et de l’instabilité de ˜
π résulte que g ϕ ∈ I
inst ( ˜
G(R)). De la
comparaison de (2) et (3) d’une part, de (5) et (6) d’autre part, résulte que, pour
tout n ≥ a ˜
L , les composantes dans
(7)
(⊕ ˜
M ∈L( ˜
M0);a ˜
M =n P W
∞
ell ( ˜
M ))
W ( ˜
M0)
de pw(g ϕ ) et de pw(f ϕ ) sont égales. Elles sont donc nulles si n > a ˜
L et égales à
sym
W (ϕ) si n = a ˜
L . Supposons a ˜
G < n < a ˜
L . On peut admettre le théorème 2.3
par récurrence pour les ˜
M tels que a ˜
M = n. C’est-à-dire que ˜
π
est stable pour
tout ˜
π
∈ B
st ( ˜
M ). L’instabilité de g ϕ implique alors que la composante de pw(g ϕ )
dans l’espace (7) appartient au sous-espace
(⊕ ˜
M ∈L( ˜
M0);a ˜
M =n P W
∞,inst
ell
( ˜
M ))
W ( ˜
M0) .
On a posé une hypothèse de récurrence au début de la preuve de la proposition 2.4.
Elle nous dit que l’image par pw
−1 de l’espace ci-dessus est inclus dans I
inst ( ˜
G(R).
Reste le cas où n = a ˜
G . L’espace (7) se réduit à P W
∞
ell ( ˜
G), que l’on peut décomposer en P W
∞,st
ell ( ˜
G) ⊕ P W
∞,inst
ell
( ˜
G). On note pw
st
ell (g ϕ ) et pw
inst
ell (g ϕ ) les projections
de pw(g ϕ ) dans chacun de ces sous-espaces. Le lemme 2.2 nous dit que pw
st
ell (g ϕ )
appartient à I
st
cusp ( ˜
G(R)) tandis que pw
inst
ell (g ϕ ) appartient à I
inst
cusp ( ˜
G(R). Posons
g
st
ϕ = pw
−1 (pw
st
ell (g ϕ )). Cela prouve que
g ϕ ∈ f ϕ + g
st
ϕ + I
inst ( ˜
G(R)).
Puisque g ϕ appartient elle-même à I
inst ( ˜
G(R)), on obtient
f ϕ + g
st
ϕ ∈ I
inst ( ˜
G(R)).