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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Puisque notre forme linéaire annule JF , il s’ensuit du (i) du lemme que
= 0 si (μ(˜ π)+A
∗
˜
L,C
)∩μ(˜ σ) = ∅. Puisqu’on veut justement prouver que est nulle,
on a terminé dans ce cas. On suppose dans la suite que (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ(˜ σ) = ∅.
En conséquence du (ii) du lemme, on a
(5) pour i = 1, . . . , m, il existe un opérateur différentiel D i sur A
∗
˜
L,C
tel que
(ϕ) =
i=1,...,m
(D i ϕ)(λ i )
pour tout ϕ ∈ F.
IV.2.6 Fonctions f ϕ à support assez régulier
Soit ϕ ∈ F. Introduisons la fonction φ sur A ˜
L dont la transformée de Fourier
est la restriction de ϕ à iA
∗
˜
L
. On introduit la fonction f
˜
L
ϕ sur ˜
L(R) définie par
f
˜
L
ϕ (γ) = φ(H ˜
L (γ))f [˜ π](γ) pour tout γ ∈ ˜
L(R). On a vu dans la preuve du lemme
2.2 que cette fonction appartient à C
∞
cusp ( ˜
L(R)) et que, en notant encore f
˜
L
ϕ son
image dans I( ˜
L(R)), pw
˜
L (f
˜
L
ϕ ) est l’élément de P W
∞
ell ( ˜
L) dont les composantes
sont nulles pour ˜
π
∈ B( ˜
L) − {˜ π} et dont la composante sur ˜
π est ϕ. Introduisons
l’espace
(1)
⊕ ˜
M∈L( ˜
M0);a ˜
M =a ˜
L
I cusp ( ˜
M (R)).
Le groupe W ( ˜
M 0 ) y agit naturellement et on a montré en [I] 4.2 que le sous-espace
des invariants était le gradué Gr
a ˜
L I( ˜
G(R)) d’ordre a ˜
L d’une certaine filtration
(F
n I( ˜
G(R))) n=a ˜
M 0
,...,a ˜
G
de I( ˜
G(R)) (la notation F pour cette filtration n’a rien
à voir avec notre espace de Paley–Wiener). On peut considérer f
˜
L
ϕ comme un
élément de l’espace (1). Posons
f
a ˜
L
ϕ =
w∈W ( ˜
M0)
w(f
˜
L
ϕ ).
On voit alors que f ϕ est un élément du terme F
a ˜
L I( ˜
G(R)) de notre filtration et que
son image dans Gr
a ˜
L I( ˜
G(R)) est f
a ˜
L
ϕ . Donc, pour un espace de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 )
et pour un élément γ ∈ ˜
M (R) elliptique dans ˜
M (R) et fortement régulier dans
˜
G(R), on a les égalités suivantes
(2) si a ˜
M > a ˜
L ou si a ˜
M = a ˜
L et ˜
M n’est pas conjugué à ˜
L, I
˜
G (γ, f ϕ ) = 0 ;
(3) si ˜
M = ˜
L,
I
˜
G (γ, f ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
I
˜
L (w(γ), f
˜
L
ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (wγ, f [˜ π]),
où W ( ˜
L) = Norm ˜
G(R) ( ˜
L)/L(R).
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Puisque notre forme linéaire annule JF , il s’ensuit du (i) du lemme que
= 0 si (μ(˜ π)+A
∗
˜
L,C
)∩μ(˜ σ) = ∅. Puisqu’on veut justement prouver que est nulle,
on a terminé dans ce cas. On suppose dans la suite que (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ(˜ σ) = ∅.
En conséquence du (ii) du lemme, on a
(5) pour i = 1, . . . , m, il existe un opérateur différentiel D i sur A
∗
˜
L,C
tel que
(ϕ) =
i=1,...,m
(D i ϕ)(λ i )
pour tout ϕ ∈ F.
IV.2.6 Fonctions f ϕ à support assez régulier
Soit ϕ ∈ F. Introduisons la fonction φ sur A ˜
L dont la transformée de Fourier
est la restriction de ϕ à iA
∗
˜
L
. On introduit la fonction f
˜
L
ϕ sur ˜
L(R) définie par
f
˜
L
ϕ (γ) = φ(H ˜
L (γ))f [˜ π](γ) pour tout γ ∈ ˜
L(R). On a vu dans la preuve du lemme
2.2 que cette fonction appartient à C
∞
cusp ( ˜
L(R)) et que, en notant encore f
˜
L
ϕ son
image dans I( ˜
L(R)), pw
˜
L (f
˜
L
ϕ ) est l’élément de P W
∞
ell ( ˜
L) dont les composantes
sont nulles pour ˜
π
∈ B( ˜
L) − {˜ π} et dont la composante sur ˜
π est ϕ. Introduisons
l’espace
(1)
⊕ ˜
M∈L( ˜
M0);a ˜
M =a ˜
L
I cusp ( ˜
M (R)).
Le groupe W ( ˜
M 0 ) y agit naturellement et on a montré en [I] 4.2 que le sous-espace
des invariants était le gradué Gr
a ˜
L I( ˜
G(R)) d’ordre a ˜
L d’une certaine filtration
(F
n I( ˜
G(R))) n=a ˜
M 0
,...,a ˜
G
de I( ˜
G(R)) (la notation F pour cette filtration n’a rien
à voir avec notre espace de Paley–Wiener). On peut considérer f
˜
L
ϕ comme un
élément de l’espace (1). Posons
f
a ˜
L
ϕ =
w∈W ( ˜
M0)
w(f
˜
L
ϕ ).
On voit alors que f ϕ est un élément du terme F
a ˜
L I( ˜
G(R)) de notre filtration et que
son image dans Gr
a ˜
L I( ˜
G(R)) est f
a ˜
L
ϕ . Donc, pour un espace de Levi ˜
M ∈ L( ˜
M 0 )
et pour un élément γ ∈ ˜
M (R) elliptique dans ˜
M (R) et fortement régulier dans
˜
G(R), on a les égalités suivantes
(2) si a ˜
M > a ˜
L ou si a ˜
M = a ˜
L et ˜
M n’est pas conjugué à ˜
L, I
˜
G (γ, f ϕ ) = 0 ;
(3) si ˜
M = ˜
L,
I
˜
G (γ, f ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
I
˜
L (w(γ), f
˜
L
ϕ ) =
w∈W ( ˜
L)
φ(w(H ˜
L (γ)))I
˜
L (wγ, f [˜ π]),
où W ( ˜
L) = Norm ˜
G(R) ( ˜
L)/L(R).